що стоять в секторах були рівні?
Рішення.
Нехай на деякому кроку в секторах виявилися в послідовному порядку числа а1, А2, А3, А4, а5, а6. Складемо таку суму: S = а1 - а2 + а3 - а4 + а5 - а6. p> Після кожного ходу вона не змінюється, оскільки кожна із різновидів а1 - а2, а3 - а4, а5 - а6 при збільшенні зменшуваного і від'ємника на одне і те ж число зберігає своє значення; отже, вона є інваріантом. Але в початковому положенні S = 0 - 1 + 2 - 0 + 2 - 1 = 2, а в кінцевому, коли кожне з шести чисел дорівнює одному й тому числу, S = 0. Тому зробити рівними всі шість чисел не можна.
Відповідь: не можна.
10. У вершинах опуклого шестикутника записані числа 8, 3, 12, 1, 10, 6 (у зазначеному порядку). За один хід дозволяється к4 будь-яким двом числам в сусідніх вершинах додати одне і те ж число. Чи можна за кілька таких ходів отримати в послідовному порядку шістку чисел 5, 2, 14, 6, 13, 4?
11. Дано чотири числа 3, 4, 5, 6. За один хід дозволяється написати чотири нових числа, замінивши кожне з вихідних чисел середнім арифметичним трьох інших. Доведіть, що за кілька таких ходів не можна отримати набір 1, 3, 5, 8.
12. У кожній клітині дошки 5 х 5 сидить жук. У деякий момент усі жуки переповзають на сусідні (по горизонталі або вертикалі) клітини. Доведіть, що після цього залишиться принаймні одна порожня клітина.
13. На диво-яблуні ростуть банани й ананаси. За один раз дозволяється зірвати з неї два плоди. Якщо зірвати два банани або два ананаса, то виросте ще один ананас, а якщо зірвати один банан і один ананас, то виросте один банан. У результаті залишився один плід. Який це плід, якщо відомо, скільки бананів і ананасів росло спочатку?
Рішення.
Парність числа бананів не змінюється, якщо число бананів було парних, то залишився плід ананас, якщо число бананів було непарним, то - банан. p> 14. На прямій стоять дві фішки: зліва червона, праворуч синя. Дозволяється проводити будь-яку з двох операцій: вставку двох фішок одного кольору поспіль (між фішками або з краю) і видалення пари сусідніх одноколірних фішок (між якими немає інших фішок). Чи можна за допомогою таких операцій залишити на прямий рівно дві фішки: зліва синю, а праворуч червону?
Рішення.
Розглянемо число різнокольорових пар (не тільки сусідніх), де ліва фішка червона, і зауважимо, що парність цього показника не змінюється. Але у вихідній ситуації наш показник дорівнює 1, а в бажаної ситуації - нулю. Тому перейти до бажаної ситуації неможливо.
15. На острові Серобуромалін живуть хамелеони: 13 сірих, 15 бурих і 17 малинових. Якщо 2 хамелеона різних кольорів зустрічаються, то вони обидва міняють свій колір на третій. Чи може статися, що в деякий момент всі хамелеони на острові стануть одного кольору?
Вказівка.
Розгляньте залишки від ділення чисел Б бурих, ...
