лад, що f (x) вимірна, якщо вимірні всі множини Е (f Ві а). Подібним чином встановлюються і інші твердження. Таким чином, у визначенні вимірної функції можна замінити безліч Е (f> a) будь-яким з множин (1).
Теорема 7. Якщо функція f ( x ), задана на безлічі Е, вимірна, а k кінцеве число, то вимірні і функції 1) f ( x ) + < i> k , 2) kf ( x ), 3) Г§ f ( x ) Г§ , 4) f 2 ( x ), і якщо f ( x ) В№ 0, то вимірна і функція 5) .
Д про до а із а т е л ь с т в про . 1) Вимірність функції f (x) + k випливає зі співвідношення Е (f + k> a) = E (f> a-k). p> 2) Вимірність функції kf (x) при k = 0 випливає з теореми 5. Для інших k вимірність випливає з очевидних співвідношень
В
3) Функція Г§f (x) Г§ вимірна тому, що
В
4) Аналогічно, з того, що
E (f 2 > a) =
випливає вимірність функції f 2 (x).
5) Нарешті, при f (x) В№ 0 маємо
> a) =
звідки і слід вимірність.
Теорема 8 . Функція f ( x ), задана і неперервна на сегменті Е = , вимірна.
Д про до а із а т е л ь с т в о. Насамперед встановимо, що безліч
F = E (f ВЈ a)
замкнуто. Дійсно, якщо x 0 є гранична точка цього множини і x n В® x 0 (x n ГЋF), то f (x n ) ВЈ ; a і, в силу безперервності f (x), буде f (x 0 ) ВЈ a, тобто x 0 ГЋF, що і встановлює замкнутість безлічі F.
Але тоді безліч Е (f> а) = Е - Е (f ВЈ а) вимірно, і теорема доведена.
З самого визначення вимірної функції випливає, що функція, задана на безмірі безлічі, безмірна.
Однак легко виявити існування незмірну функції, заданої на вимірному безлічі.
Визначення 4. Нехай М є підмножина сегмента Е = [А, В]. Функція Jм (х), що дорівнює одиниці на множині М і нулю на множині Е-М, називається характеристичної функцією безлічі М.
Теорема 9. Безліч М і його характеристична функція j м одночасно вимірні чи ні.
Д про до а із а т е л ь с т в о. Якщо функція j M (х) вимірна, то вимірність множини М випливає зі співвідношення
М = Е (Jм> 0).
Зворотно, якщо М є вимірна множина, то співвідношення
В
встановлюють вимірність функції j М (х).
Звідси, між іншим, вельми просто виходять приклади розривних вимірних функцій.
Подальші властивості вимірних функцій ...
