ічі Х = {х 1 , х 2 , х 3 }?
3. Зобразіть на папір дві множини у вигляді двох частково перекриваються геометричних фігур (кожне безліч складається з точок, розташованих усередині відповідної фігури). Заштрихуйте об'єднання і припинення множин.
4. Наведіть приклад числового безлічі, що складається з кінцевого числа елементів.
5. Яке з чисел больше6 -5 або 3? У якого з цих чисел більше модуль?
6. Наведіть приклади інтервалу і відрізка. Чим відрізняється отрезоу від інтервалу?
7. Зобразіть на числовій осі числа 2, ВЅ, -1. p> 8. За яких х справедливо рівність | x Ві | = - x Ві? br/>
ТЕМА 2. ЛІНІЙНА АЛГЕБРА
Вектори в n-мірної системі координат. Матриці. Визначник. Ранг матриці. Складання матриць. Множення матриці на вектор. Множення матриці на матрицю, коммутативность. Діагональна і одинична матриці, транспонована матриця. Трикутна матриця. Зворотний матриця. Системи лінійних алгебраїчних рівнянь. Умови існування та єдиності розв'язку. Формула Крамера. Метод Гаусса. p> КОРОТКІ ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ.
У деяких додатках вживається n-мірна прямокутна система координат, в якій формально введені Не2 або 3, а n взаємно перпендикулярних координатних осей. Вектор в такій системі - це набір з n упорядкованих чисел - координат вектора.
Базис і координати вектора.
. Лінійною комбінацією векторів а 1, а 2 , ..., а n називається вираз виду: k 1 a 1 + k 2 a 2 + ... + k n a n , де k < sub> i - числа.
Вектори а 1, а 2 , ..., а n називаються лінійно залежними, якщо знайдуться такі числа k 1 , k 2 , ..., k n , не всі рівні нулю, що відповідна лінійна комбінація векторів дорівнює нулю, тобто k 1 a 1 + k 2 a 2 + ... + k n a n = 0. Якщо ж рівність можливо тільки при всіх k i = 0, вектори називаються лінійно незалежними.
Зауваження 1. Якщо система векторів містить нульовий вектор, то вона лінійно залежна.
Зауваження 2. Якщо серед n векторів будь (n-1) лінійно залежні, то і всі n векторів лінійно залежні. p> Зауваження 3. Необхідною і достатньою умовою лінійної залежності двох векторів є їх коллінеарність.
Розглянемо декартову систему координат, базис якої утворюють у просторі три попарно ортогональних одиничних вектора i, j, k. Тоді будь-який вектор d може бути представлений у вигляді їх лінійної комбінації:
d = Xi + Yj + Zk. p> Числа X, Y, Z називаються декартовими координатами вектора d.
Зауваження. Декартові координати вектора дорівнюють його проекціями на осі Ох, Оу і Оz декартової системи координат. p> Матрицею А = | | a ij | | розміру n'm називається прямокутна таблиця чисел.
В
Позначення: А - матриця, - елемент матриці, номер рядка, в якій стоїть даний елемент, номер відповідного стовпчика; m - число рядків матриці, n - число її стовпців.
Числа m і n називаються розмірностями матриці.
Матриця називається квадратною, якщо m = n. Число n в цьому випадку називають порядком квадратної матриці. Кожній квадратній матриці можна поставити у відповідність число, яке визначається єдиним чином з використанням усіх елементів матриці. Це число називається визначником. <В
Определителем другого порядку називається число, отримане з допомогою елементів квадратної матриці 2-го порядку наступним чином:
.
При цьому з твору елементів, що стоять на так званій головної діагоналі матриці (що йде з лівого верхнього в правий нижній кут) віднімається твір елементів, що знаходяться на другий, або побічної, діагоналі.
Прімери.
1. 2. p> Определителем третього порядку називається число, яке визначається з допомогою елементів квадратної матриці 3-го порядку наступним чином:
В
Зауваження. Для того, щоб легше запам'ятати цю формулу, можна використовувати так зване правило трикутників. Воно полягає в наступному: елементи, твори яких входять до визначник зі знаком В«+В», розташовуються так:
утворюючи два трикутники, симетричних відносно головної діагоналі. Елементи, твори яких входять до визначник зі знаком В«-В», розташовуються аналогічним чином щодо побічної діагоналі:
Матриці однакової розмірності називаються рівними, якщо у них відповідно рівні елементи, які стоять на однакових місцях.
Матриця називається нульовою, якщо всі її елементи рівні 0.
Квадратна матриця називається одиничною, якщо елементи, які стоять на її головної діагоналі, дорівнюють 1, а інші рівні 0.
Лінійні операції над матрицями.
1. Складання матриць. p> Сумою матриць А і В однакової розмірності mn називається матриця З тієї ж р...
