озмірності, кожен елемент якої дорівнює сумі елементів матриць А і В, що стоять на тих же місцях:
Властивості додавання:
1. А + В = В + А.
2. (А + В) + С = А + (В + С). p> 3. Якщо О - нульова матриця, то А + О = О + А = А
Зауваження 1. Справедливість цих властивостей випливає з визначення операції додавання матриць.
Зауваження 2. Відзначимо ще раз, що складати можна тільки матриці однакової розмірності.
Приклад.
В
2. Множення матриці на число. p> Твором матриці на число називається матриця тієї ж розмірності, що і початкова, всі елементи якої рівні елементам вихідної матриці, помноженим на дане число.
Властивості множення матриці на число:
1. (Km) A = k (mA). p> 2. k (A + B) = kA + kB.
3. (K + m) A = kA + mA. p> Зауваження 1. Справедливість властивостей випливає з визначень 3.4 і 3.5. p> Зауваження 2. Назвемо різницею матриць А і В матрицю С, для якої С + В = А, тобто С = А + (-1) В.
Приклад.
. Тоді
Перемноження матриць.
Вище було зазначено, що складання матриць накладає умови на розмірності доданків. Множення матриці на матрицю теж вимагає виконання певних умов для розмірностей співмножників, а саме: число стовпців першого множника повинна дорівнювати числу рядків другого.
Твором матриці А розмірності mp і матриці В розмірності називається матриця З розмірності, кожен елемент якої визначається формулою: Таким чином, елемент являє собою суму добутків елементів i-й Рядок матриці А на відповідні елементи j-го стовпця матриці В.
Приклад.
. При цьому існує твір АВ, але не існує твір ВА. Розмірність матриці С = АВ становить Знайдемо елементи матриці С:
В
Отже,
Зворотній матриця.
Квадратна матриця А називається виродженою, якщо, і невиродженому, якщо.
Квадратна матриця В називається оберненою до квадратної матриці А того ж порядку, якщо АВ = ВА = Е. При цьому У позначається.
Cпособ обчислення зворотної матриці: її елементами є алгебраїчні доповнення до елементів транспонованою матриці А, поділені на її визначник.
Лінійними операціями над якими об'єктами називаються їх додавання і множення на число.
Лінійною комбінацією змінних називається результат застосування до ним лінійних операцій, тобто де числа, змінні.
Лінійним рівнянням називається рівняння виду
В
де і b - числа, - невідомі.
Таким чином, в лівій частині лінійного рівняння стоїть лінійна комбінація невідомих, а в правій - число.
Лінійне рівняння називається однорідним, якщо b = 0. В іншому випадку рівняння називається неоднорідним.
Системою лінійних рівнянь (лінійною системою) називається система виду
В
де, - числа, - невідомі, n - число невідомих, m - число рівнянь.
Рішенням лінійної системи (2) називається набір чисел
які при підстановці замість невідомих звертають кожне рівняння системи у вірне рівність.
Метод Гаусса розв'язання лінійних систем.
Зауваження. Лінійна система може мати єдине рішення, нескінченно багато рішень або не мати жодного рішення.
Способи знаходження єдиного рішення системи,
в якій число рівнянь дорівнює числу невідомих:
Нехай (цього завжди можна домогтися, помінявши рівняння місцями). Розділимо обидві частини першого рівняння на і віднімемо отримане рівняння з кожного з інших рівнянь системи, помноживши його попередньо на де i - номер чергового рівняння. Коефіцієнти при під всіх рівняннях цієї системи, починаючи з другого, будуть рівні 0, тобто система виглядає так:
.
Якщо нові коефіцієнти при х 2 не всі рівні нулю, можна таким же чином виключити з третьої і наступних рівнянь. Продовжуючи цю операцію для наступних невідомих, наведемо систему до так званого трикутного вигляду:
. p> Тут символами і позначені змінилися внаслідок перетворень числові коефіцієнти і вільні члени.
З останнього рівняння системи єдиним чином визначається, а потім послідовною підстановкою - інші невідомі.
Зауваження. Іноді в результаті перетворень в якому-небудь з рівнянь звертаються в 0 всі коефіцієнти і права частина, тобто воно перетворюється на тотожність 0 = 0. Виключивши його із системи, ми зменшимо число рівнянь в порівнянні з числом невідомих. Така система не може мати єдиного рішення.
Якщо ж у процесі застосування методу Гауса яке-небудь рівняння перетвориться на рівність виду 0 = 1 (коефіцієнти при невідомих звернулися в 0, а права частина прийняла ненульове значення), то вихідна система не має рішення, так як подібне рівність є невірним при будь-яких значеннях невідомих.
Правило Крамера.
Розглянемо систему (2.3). Назвемо головним визначником цієї системи визначник, елементами якого є коефіцієнти при невідомих:
.
Правило Крамера дозволяє знайти єдине рішення системи або зробити виснов...
