а основі отриманих результатів заходів цілеспрямованого їх зміни.
Основні теореми теорії ймовірностей
Питання № 7.
Поясніть фізичний зміст формули повної ймовірності.
Відповідь:
Формула повної ймовірності є наслідком обох основних теорем - теореми додавання ймовірностей і теореми множення ймовірностей.
Нехай потрібно визначити ймовірність деякої події А, яка може відбутися разом з однією з подій:
Н1, Н2, ..., Нп,
утворюють повну групу (кілька подій у даному досвіді утворюють повну групу подій, якщо в результаті досвіду неодмінно має з'явитися хоча б одне з них) несумісних подій (кілька подій називаються неспільними в даному досвіді, якщо ніякі дві з них не можуть з'явитися разом) . Будемо ці події називати гіпотезами .
Так як гіпотези Н1, Н2, ..., Нп утворюють повну групу, то подія А може з'явитися тільки в комбінації з будь-якої з цих гіпотез:
А = Н1? А + Н2? А + ... + Нп? А.
Так як гіпотези Н1, Н2, ..., Нп несумісні, то і комбінації Н1? А + Н2? А + ... + Нп? А також несумісні. Застосовуючи до них теорему додавання ймовірностей ( Ймовірність суми двох несумісних подій дорівнює сумі ймовірностей цих подій: Р (А + В) = Р (А) + Р (В) ), отримуємо:
Р (А) = Р (Н1? А) + Р (Н2? А) + ... + Р (Нп? А) =.
Застосовуючи до події Рi? А теорему множення ( Ймовірність добутку двох подій дорівнює добутку ймовірності однієї з них на умовну ймовірність іншого, обчислену за умови, що перше мало місце: Р (А? В) = Р (А) ? Р (В/А) ), отримаємо:
Р (А) = Р (Н1)? Р (А/Н1) + Р (Н2)? Р (А/Н2) + ... + Р (Нп)? Р (А/Нп)
або.
Отримана формула і є формула повної ймовірності .
Приклад. Уздовж лінії електропередач (ЛЕП) відбувається три грозових розряду. Ймовірність влучення в ЛЕП першого грозового розряду дорівнює 0.4; другого - 0.5; третього - 0.7. ЛЕП виходить з ладу при одному попаданні блискавки з імовірністю 0.2; при двох влучань з імовірністю 0.6 і при трьох попаданнях з імовірністю 1.0. p> Знайти ймовірність того, що в результаті грозових розрядів ЛЕП вийшла з ладу.
Рішення. Розглянемо чотири гіпотези:
1. Н0 - в ЛЕП не потрапило жодного грозового розряду;
2. Н1 - в ЛЕП потрапив один розряд блискавки;
. Н2 - в ЛЕП потрапило два розряди блискавки;
...
