изводить до універсального методу інтегрування систем диференціальних рівнянь довільного виду на будь-якому проміжку інтегрування.
Розробка програмних засобів реалізують розрахунок точного прогнозу перебігу процесів, є важливим допоміжної науково-технічним завданням.
Метою даної курсової роботи є розробка алгоритму рішення систем лінійних диференціальних рівнянь першого порядку п'яти точковим методом прогнозу і корекції Адамса-Башфорта.
1. ПОСТАНОВКА ЗАВДАННЯ
Розглянемо довільну систему лінійних диференціальних рівнянь першого порядку:
(1.1)
тоді як:
А = (1.2)
де А задана матриця розміром N x N.
- вектор з N координатами, який підлягає визначенню;
N - довільне ціле число;
В
- задані вектора правих частин з N координатами.
З використанням методу прогнозу і корекції Адамса-Башфорта п'ятого порядку, необхідно отримати значення невідомих для заданих тимчасових інтервалів. Для стартования методу необхідно використовувати метод прогнозу і корекції третього порядку зі змінним кроком, на заданих тимчасових проміжках ..
2. МЕТОДИ РІШЕННЯ
В
2.1. Метод прогнозу і корекції
Метод прогнозу і корекції належить до завдань класу Коші, саме до чисельних рішенням багатокроковими методами.
Розглянемо задачу Коші:
, (2.1.1)
Підставимо в (2.1.1) точне рішення y (x), і проинтегрируем це рівняння на відрізку, тоді отримаємо:
(2.1.2)
де в останньому член припускаємо, що p (x) поліном, апроксимуючий f (x, y (x)). Щоб побудувати цей поліном, припустимо, що - наближення до вирішення в точках. Будемо вважати для початку, що вузли Xi розташовані рівномірно з кроком h. тоді fi = f (xi, yi), (i = k, k-1, k-2, ..., kN) є наближення до f (x, y (x)) в точках і ми в якості P візьмемо інтерполяційний поліном для вибору даних (xi, fi),
(i = k, k-1, k-2, ..., k-N). Таким чином, P - поліном ступеня N, задовольняє умовам P (xi) = fi, (i = k, k-1, k-2, ..., kN). В принципі, можемо проінтегрувати цей поліном явно, що веде до наступного методу:
(2.1.3)
У простому випадку, коли N = 0, поліном P є константа, рівна fk, і (2.1.3) перетворюється на звичайний метод Ейлера:
(2.1.4)
Якщо N = 1, то P є лінійна функція, через точки
(xk-1, fk-1) і (xk, fk), тобто p> (2.1.5)
інтегруючи цей поліном від Xk до Xk +1, отримаємо наступний метод:
(2.1.6)
який є двухшаговим, оскільки використовує інформацію в двох точках xk і xk-1. Аналогічно, якщо N = 2, то P - є кубічний інтерполяційний поліном, а відповідний метод визначається формулою:
(2.1.7)
...
