еской завдання збільшення зовнішніх сил D P обчислюються на кроці за часом D t . При цьому вектор зовнішніх сил P в момент часу t дорівнює:
(27)
де n - крок навантаження.
Таким чином, з урахуванням вищевикладеного, варіаційне рівняння рівноваги в матричній запису приймає вигляд:
(28)
де - вектор приростів переміщень.
В
3. Представлення матриці жорсткості
У межах пружності зв'язок між приростами напружень і деформації виражається законом Гука. Згідно з ним компоненти збільшень деформації є лінійними функціями збільшень напруг. Пластичний стан матеріалу описується теорією малих упругопластических деформації Ільюшина. Приймається теорія ізотропного зміцнення. Об'ємна деформація у пластичній зоні залишається пружною і для неї виконується об'ємний закон Гука:
, (29)
де q - відносне зміна обсягу.
Модуль об'ємного стиснення k для ізотропного тіла у разі осесиметричної деформації має вигляд:
. (30)
Модуль зсуву G пов'язаний з модулем Юнга E і коефіцієнтом Пуассона n формулою:
в пружною області:
(31)
у пластичній:
(32)
Тут H - Дотичний модуль зміцнення. Коефіцієнт Ляме - l визначається формулою:
(33)
Таким чином, матриця матеріальних констант D має вигляд:
. (34)
Слід особливо відзначити, що використовувати матрицю жорсткості в такому вигляді для пластичного стану можна, тільки пов'язуючи збільшення деформації і напружень, про що було сказано раніше при виводі рівняння рівноваги.
Знаючи поточне стан елемента, межа плинності, накопичену деформацію та прирощення зовнішніх сил, можна визначити зміну напружено-деформованого стану на кроці прирощення переміщень Du і сил D Р , використовуючи для обчислення K за формулою (пружне або пластичне уявлення матриці жорсткості.
4. Пластична деформація
Пластична деформація твердого тіла розглядається в рамках деформаційної теорії пластичності. Прийнято наступні вихідні положення:
Вѕ тіло изотропно;
Вѕ відносна зміна обсягу мало і є пружною деформацією, пропорційної середньому тиску: або;
Вѕ повні прирости складових деформації D e ij складаються з збільшень складових пружною деформації D e eij та пластичної деформації D e pij :
;
Вѕ Девіатори збільшень напруги і деформації пропорційні:.
Напружено-деформований стан елемента на i +1 кроці характеризується інтенсивністю деформації e i :
(35)
де e ij - компоненти тензора деформації.
Якщо інтенсивність деформації якого - або кінцевого елемента перевищила поточний межа пружності за деформаціями, то цей елемент переходить з пружного в пластичний стан. Якщо матеріал зміцнюється при пластичній деформації, то відповідає межі пружності деформація Оµ е збільшується на величину D e е (Мал. 7):
(36)
Обчислення межі пружності за деформаціями, досягнутого на кроці k визначається підсумовуванням:
. (37)
Мається на увазі, що в пружною області межу пружності не змінюється, його збільшення НЕ обчислюються і рівні нулю.
Накопичена пластична деформація визначається різницею інтенсивностей повної деформації e i і деформації e e , відповідає межі пружності:
(38)
Викладені в Надалі ітераційні методи для досягнення задовільною збіжності вимагають дотримання безперервності і гладкості кривої зміцнення. Тому наприкінці пружного ділянки кривої зміцнення введений нелінійно пружний ділянку, на якій модуль зміцнення обчислюється за формулою:
, (39)
де - інтенсивність деформації, відповідна межі пропорційності.
Співвідношення (39) виражає пропорційну зміну модуля зміцнення при переході від пружного стану до пластичного. Межа пружності по напруженням в цьому випадку буде визначатися співвідношенням
, (40)
де e ЕP - деформація в області нелінійної пружності:
.
Вектор збільшень компонент тензора напруги на кроці k в пластичному стані визначається за приращениям компонент деформації:
. (41)
Вектор компонент напруги на кроці k в пружному і пластичному стані підсумовується за приращениям:
. (42)
Інтенсивність напружень визначається за компонентами тензора напруги s ij
