Міністерство освіти і науки Російської Федерації
Федеральне державне бюджетне освітня установа
вищої професійної освіти
Курський державний університет
Курсова робота
з дисципліни «Математичний аналіз»
«Спеціальні методи інтегрування раціональних виразів»
Виконала:
Олімпієва Н.І.
Курськ +2014
Зміст
Введення
. Метод Острограцкого
.1 Алгоритм Евкліда
.2 Приклади
. Інтегрування биноминальную диференціалів
.1 Тригонометричні і гіперболічні підстановки
.2 Приклади
Висновок
Список літератури
Введення
Клас раціональних функцій дуже широкий, тому універсального способу їх інтегрування бути не може. У цій курсової спроби виділити найбільш характерні види раціональних подинтегральних виразів і поставити їм у відповідність метод інтегрування.
Ця тема є однією з головних у інтегральному численні. Знайти інтеграл для функції, або висловити її первообразную через елементарні функції досить складно.
Метою курсової роботи є показати, як інтегруються раціональні вирази.
Відповідно до мети дослідження визначено такі завдання:
) Виділити основні види раціональних виразів;
) Показати прийоми інтегрування цих виразів;
) Підібрати і прорешать типові завдання з теми дослідження.
1. Метод Остроградського
Даний метод інтегрування був вперше запропонований відомим російським математиком М.В. Остроградським в 1844
Якщо знаменник правильної раціональної дробу P (x) Q (x) має кратні корені, особливо комплексні, то інтегрування такий дробу зазвичай пов'язане з громіздкими викладками. У цьому випадку доцільно користуватися формулою Остроградського. Істотна особливість методу Остроградського полягає в тому, що він дозволяє без знаходження нулів знаменника правильної раціональної дробу виділити раціональну частину невизначеного інтеграла від такої дробу.
Нехай P m (x) і Q n (x) - многочлени з дійсними коефіцієнтами ступеня m? 0 і n gt; 0 відповідно, причому m lt; n і многочлен Q n (x) має не збігаються з нулями многочлена P m (x), взагалі кажучи, кратні нулі (дійсні і комплексно спряжені). Тоді інтеграл від правильної раціональної дробу можна представити у вигляді суми раціональної та трансцендентної частин:
Остроградський інтеграл алгоритм диференціал
- найбільший спільний дільник (НСД) многочлена і його похідної; =, А - многочлени з невизначеними коефіцієнтами. Якщо коріння відомі, то відомі і многочлени і.
Насамперед, знаходимо Q1 як загальний найбільший дільник функції і її похідної (наприклад, за допомогою алгоритму Евкліда);
Після цього в рівності (формулі) Остроградського залишається визначити два многочлени і. Так як ступеня шуканих многочленів і відповідно нижче ступенів знайдених вже многочленів і., То ми їх в рівність Остроградського запишемо з невизначеними коефіцієнтами;
Продифференцируем обидві частини цієї рівності і отримаємо наступне тотожність:=
Після приведення до спільного знаменника, прирівнявши один до одного коефіцієнти при однакових ступенях x в чисельнику лівої і правої частин цієї тотожності, одержимо систему рівнянь щодо невизначених коефіцієнтів шуканих многочленів і. Вирішуючи цю систему, знайдемо невідомі коефіцієнти (а значить, і самі многочлени).
Тепер для отримання інтеграла від спочатку заданою дробу залишається проинтегрировать дріб, яка виражається вже тільки через трансцендентні функції (логарифми і арктангенсом).
Отже, в рівності (формулі) Остроградського маємо:
, і - правильні раціональні дроби,
- загальний найбільший дільник і, і - многочлени, находімиє методом невизначених коефіцієнтів.
Многочлен може бути знайдений без розкладання як найбільший спільний дільник многочленів і з використанням алгоритму Евкліда.
. 1 Алгоритм Евкліда
Нехай необхідно знайти НСД многочленів і. Не обмежуючи спільності, будемо вважати, що ступінь не вище ступеня.
Многочлен представимо у вигляді:
де - залишок від ділення на. Тоді ступінь менше ступеня дільника.
Далі, в результаті поділу на отримаємо:
Причому ступінь менше ступеня дільника.
<...
