>
a 3 = b 2 + cd 2 (1)
де з = const, має наступне рішення:
a = О± 2 + cОІ 2 b = О± 3 - 3cО±ОІ 2 d = 3О± 2 ОІ - cОІ 3
де О± і ОІ - довільні числа.
Доказ
Розглянемо тотожність
(2)
де з = const (деяке число); x, y, u, П… - змінні (довільні числа).
Якщо один з 2 x співмножників в дужках лівої частини тотожності (2) є квадратом іншого (наприклад: (x 2 + cy 2 ) 2 = u 2 + cП… 2 ), то тотожність (2) можна записати не через чотири змінних x, y, u, П…, а тільки через дві (О± і ОІ), де О± і ОІ-інші змінні.
Дійсно, якщо (x 2 + cy 2 ) 2 = u 2 + cП… 2 (3), загальний вигляд якого
(4) a 1 2 = u 2 + cП… 2 (випадок, коли (n = 2)), а його рішення (це фахівцям відомо):
(5) a 1 = О± 2 + cОІ 2 ,
(6) u = О± 2 -cОІ 2 ,
(7) П… = 2О±ОІ, де О± і ОІ-довільні числа ((ці рішення фахівцям відомі).
(Дійсно, якщо в (4) підставити його рішення (5), (6) і (7), то отримаємо тотожність: (О± 2 + cОІ 2 ) 2 в‰Ў (О‘ 2 -cОІ 2 ) 2 + c (2О±ОІ) 2 (8). Отже, маємо наступне:
(9) x 2 + cy 2 = О± 2 + cОІ 2
(6) u = О± 2 -cОІ 2
(7) П… = 2О±ОІ
Рівняння (9) звертається в тотожність при x = О± (10) і y = ОІ (11), значить
(10) і (11) є рішеннями (9).
Враховуючи (3), тотожність (2) запишеться у вигляді рівняння:
=> (12) (x 2 + cy 2 ) 3 = (xu-cyП…) 2 + c (xП… + yu) 2
Враховуючи (6), (7), (10) і (11), рівняння (12) запишеться:
=> p> => (13)
де О± і ОІ - довільні.
Т.к. (13) - тотожність, то рішенням рівняння (1) a 3 = b 2 + cd 2 (випадок, коли (n = 3) ), є:
а = О‘ 2 + cОІ 2 b = О± 3 - 3cО±ОІ 2
d = 3О± 2 ОІ - CОІ 3 , де О± і ОІ - довільні числа, ч.т.д.. br/>
Затвердження 2. (N = 2, 3, 4, 5, 6, 7)
Рівняння a n = b 2 + cd 2 (1), де c = const, має наступне рішення:
a = О± 2 + cОІ 2
де Оє i - біномінальні коефіцієнти ступеня n, де i = 3, 4, 5, 6, 7, 8, ...;
Оє 1 = 1 - перші два біномінальної коефіцієнта в
Оє 2 = п біном Ньютона при О± n і О± n -1 ОІ;
n - натуральна ступінь (n> 1).
Доказ
(методом аналізу окремих випадків, коли n = 2, 3, 4, 5, 6, 7)
I етап
Розглянемо окремі випадки.
Нам вже відомі рішення рівняння (1) a n = b 2 + cd 2 для ступеня n = 2 і n = 3 (дивись доказательствоУтверждение1).
n = 2
(2) a 2 = b 2 + cd 2 , де
a = О± 2 + cОІ 2
b = О± 2 -cОІ 2 (2 ') - при цих значеннях a, b і c рівняння (2) перетворюється на d = 2О±ОІ тотожність (О± 2 + cОІ 2 ) 2 в‰Ў (О± 2 -cОІ 2 ) 2 + c (2О±ОІ) 2 (2'').
n = 3
(3) a 3 = b 2 + cd 2 ,
де p> a = О± 2 + cОІ 2
b = О± 3 -3cО±ОІ 2 (3 ') - при цих значеннях a, b і c рівняння (3) перетворюється на d = 3О± 2 ОІ-cОІ 3 тотожність (О± 2 + сОІ 2 ) 3 в‰Ў (О± 3 -3сО±ОІ 2 ) 2 + с (3О± 2 ОІ-сОІ 3 ) 2 (3'').
Приклад: при О± = ОІ = 1 і c = 2 маємо вірне рівність:
(1 +2 В· 1) 3 = (1-3 В· 2.1) 2 + 2 В· (3-2 В· 1) 2 3 3 в‰Ў 5 2 +2 В· 1 2
Нагадаю, що при знаходженні рішення рівняння (1) для ступеня n = 3 ми в доказі Утвержденія1опіралісь на тотожність (2)
(x 2 + cy 2 ) (u 2 + cП… 2 ) в‰Ў (xu-cyП… ) 2 + c (xП… + yu) 2 ,
і на рішення рівняння (1) другого ступеня, тобто ступеня на одиницю меншу. Ана...
