тичної середини представляє, отже, найпростіший випадок методу найменших квадратів. p align="justify"> Великі труднощі представляються при визначенні зі спостережень величин, які не можуть бути виміряні безпосередньо. При цьому, якби число рівнянь дорівнювало числу невідомих, то для кожної невідомої вийшла б одна певна величина; якщо ж число рівнянь більше числа невідомих, то, внаслідок помилок спостережень, результати рішень окремих груп цих рівнянь у різних поєднаннях виявляються не зовсім приголосними між собою .
До початку XIX в. вчені не мали певних правил для вирішення системи рівнянь, в якій число невідомих менш числа рівнянь; до цього часу вживалися приватні прийоми, залежали від виду рівнянь і від дотепності обчислювачів, і тому різні обчислювачі, виходячи з тих же даних спостережень, приходили до різних висновків . Лежандру (1805-06) і Гауса (1794-95) належить перше застосування до вирішення зазначеної системи рівнянь теорії ймовірності, виходячи з почав, аналогічних з початком арифметичної середини, вже здавна і, так би мовити, несвідомо застосовуваних до висновків результатів у простому випадку багаторазових вимірювань. Як і у випадку арифметичної середини, знову винайдений спосіб не дає, звичайно, істинних значень шуканих, але дає зате ймовірне значення. Цей спосіб поширений і вдосконалений подальшими дослідженнями Лапласа, Енке, Бесселя, Ганзена та ін і отримав назву методу найменших квадратів, тому що після підстановки в початкові рівняння невідомих величин, виведених цим способом, в правих частинах рівнянь виходять якщо і не нулі, то невеликі величини, сума квадратів яких виявляється меншою, ніж сума квадратів подібних же залишків, після підстановки яких би то не було інших значень невідомих. Крім цього, рішення рівнянь за способом найменших квадратів дає можливість виводити ймовірні помилки невідомих, тобто дає величини, за якими судять про ступінь точності висновків. p align="justify"> Нехай дано вирішити систему рівнянь
ax + by + cz ... + n = 0x + b1y + c1z ... + n1 = 0 (1) x + b2y + c2z ... + n2 = 0
число яких більше числа невідомих x, у, z ... Щоб вирішити їх за способом Н. квадратів, становлять нову систему рівнянь, число яких дорівнює числу невідомих і які потім вирішуються по звичайним правилам алгебри. Ці нові, або так звані нормальні, рівняння складаються за наступним правилом: множать спершу всі дані рівняння на коефіцієнти у першої невідомої х і, склавши почленно, одержують перші нормальне рівняння, множать всі дані рівняння на коефіцієнти у другої невідомої у і, склавши почленно, здобувають другу нормальне рівняння і т. д. Якщо означити для стислості:
[aa] = a1a1 + a2a2 + ...
[ab] = a1b1 + a2b2 + ...
[ac] = a1c1 + a2c2 + ...
[bb] = b1b1 + b2b2 + ...
[bc] = b1c1 + b2c2 + ...
