ртності)
Формула
(3)
висловлює в термінах функції розподілу і в термінах функції дожиття умовну ймовірність того, що особа помре у віці між t і z за умови, за умови, що воно доживе до віку t. Якщо різниця tz постійна і дорівнює с, то розглянута як функція від t, ця умовна ймовірність описує розподіл ймовірності смерті в найближчому майбутньому (між моментами часу 0 і c) для особи, яка досягла віку t. Аналог цієї функції, який розглядає смерть в певний момент, можна отримати, використовуючи щільність ймовірності смерті після досягнення віку t, тобто формулу (3) з
(4)
У цьому виразі є функцією щільності розподілу неперервної випадкової величини "вік в момент смерті". Функція у формулі (4) може інтерпретуватися в термінах умовних густин. Для кожного віку t вона дає значення в точці t умовної функції щільності випадкової величини T за умови дожиття до віку t і позначається через Ој (t) [2].
Отримуємо
(5)
З властивостей функцій f (t) і S (t) випливає, що .
У актуарної науці і в демографії Ој (t) називається інтенсивністю смертності. У теорії надійності <# "justify"> де T-є тривалість настання події за наявності фактора z, а T 0 - тривалість настання події без фактора z.
Якщо S 0 (t) - функція дожиття для T 0 , то вважають ? (0) = 1
Визначимо функцію дожиття при наявності фактора z.Вообще функція дожиття це ймовірність того, що процес триватиме довше, ніж заданий час, тобто [3]: P {T? T} = S (t)
За наявності фактора z функція дожиття визначається [3]:
(6)
Знаючи вид функції дожиття можна визначити інші функції.
Щільність ймовірності [3]:
(7)
Інтенсивність відмови Ој (t) [3]:
(8)
Кумулятивний ризик H (t) [3]:
(9)
Замінюючи на нову змінну x наводимо інтеграл до вигляду [3]:
(10)
Середня тривалість процесу [3]:
...
