у вузлах сітки. Найбільш простий вигляд має ця система при:
В
,,,, (3)
,.
При отриманні сіткових рівнянь (3) була використана схема вузлів. Набір вузлів, використовуваних для апроксимації рівняння в точці, називається шаблоном. У даній роботі використовується шаблон типу В«хрестВ». br/>В
Чисельне рішення задачі Діріхле для рівняння Лапласа в многоугольнике полягає в знаходженні наближених значень шуканої функції u (х, у) у внутрішніх вузлах сітки. Для визначення величин потрібно вирішити систему лінійних алгебраїчних рівнянь (3). p align="justify"> У даній роботі вона вирішується методом мінімальних нев'язок, який полягає в побудові послідовності ітерацій види:
,
де - нев'язка
- ітераційний параметр
(верхнім індексом s позначений номер ітерації). При послідовність сходиться до точного розв'язання системи (3). В якості умови закінчення ітераційного процесу можна прийняти
.
Таким чином, похибка наближеного рішення, отриманого методом сіток, складається з двох похибок: похибки апроксимації диференціального рівняння різницевими значеннями; похибки, що виникає в результаті наближеного рішення системи різницевих рівнянь (3).
Відомо, що описана тут різницева схема має властивість стійкості і збіжності. Стійкість схеми означає, що малі зміни в початкових даних приводять до малих змін рішення різницевої задачі. Тільки такі схеми має сенс застосовувати в реальних обчисленнях. Збіжність схеми означає, що при прагненні кроку сітки до нуля () рішення різницевої задачі прагне до вирішення вихідної задачі. Таким чином, вибравши досить малий крок h, можна як завгодно точно вирішити вихідну завдання. p> Приклад вирішення такого завдання Дирихле, наведений у рішенні заданого прикладу.
. Рішення заданого прикладу
програма рівняння Лапласа прямокутний
Використовуючи метод сіток, скласти наближене рішення задачі Діріхле для рівняння Лапласа (1).
Рішення отримати в квадраті ABCD, з вершинами A (0, 0), B (0:1), C (1; 1), D (1,0) кроком h = l/n, де n-кількість вузлів , що приймає умови Діріхле на всіх кордонах крім правої (на правій межі поставлена ​​умова Неймана).
;;;.
Систему лінійних алгебраїчних рівнянь вирішити по методом мінімальних нев'язок, при? = 0,0000001.
1) Побудуємо сітку з кроком h = l = 0,2
В
2. Побудуємо ітераційний процес
В В В
У вигляді початкового наближення візьмемо,
умови закінчення ітераційного процесу:.
. Лістинг програми
# define _USE_MATH_DEFINES
# include
# include
# include
# include ...
