ділити на три групи: точні аналітичні методи, наближені аналітичні методи і чисельні методи.
До методів першої групи відносять такі, які дозволяють знаходити рішення у вигляді формули, проте коло їх застосовності досить вузьке. p> У наближених аналітичних методах будуються послідовності функцій, що сходяться до точного розв'язання задачі. Основна складність при їх реалізації - обчислення великого числа похідних і інтегралів, серед яких можуть бути В«неберущімсяВ» інтеграли. p> Найбільш значущими в даний час є чисельні методи рішення диференціальних рівнянь, що припускають отримання числової таблиці наближених значень шуканого рішення на деякій сітці значень аргументу. Рішення виходить у вигляді масиву чисел, що виявляють наближеним значення рішення на системі точок. p> Чисельне рішення задачі (1.1) шукається у вузлах сітки:
,.
Позначимо,, відстань між сусідніми вузлами сітки. Якщо, сітка називається рівномірною (регулярної); в іншому випадку - нерівномірної (нерегулярної). p> На виході з чисельного методу ми отримуємо послідовність значень, які є наближеннями до значень точного рішення у вузлах сітки. Набір чисел називається каркасом наближеного рішення задачі Коші. Набір чисел називається проекцією точного рішення задачі Коші на сітку. p> Значення, яке визначається у вузлі, може обчислюватися явно
В
або неявно
.
Тут - функція, що характеризує той чи інший чисельний метод. Відповідно до знаходженням методи діляться на явні і неявні. p> Також чисельні методи діляться на однокрокові () і багатокрокові m - крокові. У однокрокових методах для отримання точки потрібно лише інформація про останню розрахованої точці. У m - крокових методах для отримання точки потрібно інформація про попередні m розрахованих точках. br/>
.2 Визначення багатокрокових методів
Розглянемо чисельні методи розв'язання задачі Коші, які можуть бути задані формулою:
(2)
Тут значення рішення в точці визначається через значення рішення в k точках, що передують. Такий метод називається k-кроковим. p> З класу (2) виділимо багатокрокові методи виду
, (3)
застосовувані на сітці з постійним кроком:
,,, (4)
Різниця між найбільшим і найменшим значеннями індексу невідомої функції, що входить у рівняння (4), дорівнює k. Тому співвідношення (3) є різницевим рівнянням k-го порядку, спільне рішення якого залежить від k параметрів. Щоб виділити єдине рішення цього рівняння, необхідно задати k додаткових умов на функцію. Цими додатковими умовами є значення функції при. br/>
,, ..., (5)
які передбачаються відомими, їх можна знайти за допомогою однокрокових методів.
Використовуючи значення (4), з рівняння (3) при n = 0 можна знайти, потім, використовуючи значення, ..., і вважаючи в (3) n = 1, знайти. Таким чином, даний метод...
