лі, коливання електронів в атомі, які породжують світлові хвилі. Додамо сюди рівняння, що описують дії датчиків-регуляторів, наприклад підтримують задану температуру термостата, складні взаємодії в хімічних реакціях і (вже зовсім несподівано) рівняння, пов'язані до зростання колонії бактерій, яких одночасно і годують і труять отрутою, або до розмноження лисиць, що харчуються кроликами , які в свою чергу їдять траву. Осцилятори розглядаються і в економіці, в аналізі фінансових ринків: крива темпу, яка коливається навколо нульової лінії - технічний індикатор, що показує стан перекупленності або перепроданості ринку. Ми привели дуже неповний список явищ, які описуються майже тими ж рівняннями, що і гармонійний осцилятор. Ці рівняння називаються лінійними диференціальними рівняннями з постійними коефіцієнтами. p align="justify"> Відомі надійні загальновживані методи розв'язання задачі про вільні коливання гармонічного осцилятора. Класичними є рішення за допомогою розкладання в ряд Тейлора [1], а також метод характеристичного рівняння. Але, як відомо математичні методи мають ряд обмежень, які випливають, як правило, з фізики. Удосконалення методики приладів дослідження призвело до того, що багато процесів стали розглядатися як нелінійні. Виникла необхідність в універсальних методах для вирішення диференціальних рівнянь мають як лінійний, так і нелінійний характер перетворюються один в одного. У роботі [2] запропонована схема рішення, що базується на індукованої алгебрі, що виходить при запису диференціальних рівнянь у вигляді системи рівнянь з квадратичною правою частиною. p align="justify"> Дана методика достатня, важлива, оскільки багато фізичні процеси по суті поліномінальної. Було б природним удосконалювати методи їх розрахунку. У порівнянні з іншими способами, цей відрізняється простотою і зручністю запису отриманого результату. По суті, тут використовується тільки додавання і множення. br/>
1. РІШЕННЯ РІВНЯННЯ гармонійного осцилятора ЗА ДОПОМОГОЮ РОЗКЛАДАННЯ У РЯД ТЕЙЛОРА
Рух матеріальної точки підпорядковується рівнянню (1.1):
(1.1)
Задаються так само початкові умови. Наприклад:
(1.2)
Для довільної монотонної функції ряд Тейлора [1] має вигляд:
(1.3)
Використовуючи початкові умови і формулу (1.3) запишемо ряд Тейлора.
В
використовуючи ці дані, знайдемо другу похідну:
(1.4)
Далі щоб отримати третю похідну, диференціюючи рівняння (1.1):
В
Звідси випливає, що і якщо t = 0, то
(1.5)
Далі знаходимо четверту, п'яту та наступні похідні:
якщо t = 0, то
(1.6)
(1.7)
Вийшла закономірність, що непарна похідна для значень дорівнює 0.
Далі для того щоб поспостеріга...
