ify"> 1. Водні поняття і властивості
Поняття первісної функції.
Нехай на інтервалі (a, b) задана безперервна функція f (x).
Функція F (x) називається первісною функцією для функції f (x) на інтервалі (a, b), якщо F (x) диференційовна на (a; b) і F? (x) = f (x).
Приклад:
1) - є первісна для функції на, тому що p>) первісна для функції на, тому що br/>
Теорема: Якщо функція F (x) - первісна для f (x) на (a; b), то функція F (x) + C - також первісна для f (x), де C - будь-яке постійне число. br/>В
Теорема: Якщо F1 (x) і F2 (x) - дві первісні для функції f (x) на (a; b), то F1 (x)-F2 (x) = C на (a; b), де C-деяка стала.
Слідство: Якщо F (x) - первісна для f (x) на (a; b), то будь-яка інша первообразная Ф (x) для f (x) на (a; b) має вигляд
Ф (x) = F (x) + C
Безліч всіх первісних для f (x) на (a; b) називається невизначеним інтегралом від функції f (x) і позначається символом
В
Знак? - Називається інтегралом,
- підінтегральний вираз,
- подинтегральная функція. [7]
Якщо F (x) - одна з первісних для f (x), то
В
Властивості визначеного інтеграла
)
)
)
)
)
Приклади
1)
)
)
Найпростіші прийоми інтегрування
Одним з найсильніших прийомів для інтегрування функцій є метод заміни змінної або підстановки.
Припустимо, що в інтервалі [a, b]
В
Теорема 1. Нехай дана функція, де неперервна разом зі своєю першою похідною в інтервалі [a, b], і нехай для всіх точок x інтервалу [a, b]. Значить
В
Приклади
)
)
Теорема 2. Інтегрування по частинах. p> Припустимо, що u, v - функції від змінної x, безперервні і мають похідні в інтервалі (a, b). Маємо тоді
В
Беручи невизначені інтеграли від обох частин, і враховуючи, що
В
отримаємо
Приклад:
)
[2,7]
Інтегрування раціональних дробів.
Невизначений інтеграл від будь раціональної дробу на всякому проміжку, на якому знаменник дробу не звертається до нуль, існує і виражається через елементарні функції.
Сам метод полягає в розкладанні раціональної дробу на суму найпростіших.
Раціональної дробом називається вираз виду, де і - многочлени.
Раціональна дріб називається правильною, якщо ступінь багаточлена в чисельнику менше ступеня многочлена в знаменнику. В іншому випадку дріб називається неправильною. p> Всякая неправильна раціональна дріб за допомогою ділення чисельника на знаменник приводиться до вигляду
,
де - многочлен (ціла частина при діленні), а - правильна раціональна дріб (залишок).
Тому
В
