ЗМІСТ
Введення
Глава 1. Невизначений інтеграл
.1 Первісна та невизначений інтеграл
.2 Таблиця інтегралів
1.3 Деякі властивості невизначеного інтеграла
Глава 2. Основні методи інтегрування
.1 Інтегрування методом заміни зміною або способом підстановки
.2 Інтегрування по частинах
.3 Раціональні дроби. Найпростіші раціональні дроби і їх інтегрування
.4 Інтегрування раціональних дробів
Висновок
Список літератури
ВСТУП
ІНТЕГРАЛ одне з найважливіших понять математики, що виникло у зв'язку з потребою, з одного боку відшукувати функції по їх похідним (приміром, знаходити функцію, що виражає шлях, пройдений рухомій точкою, по швидкості цієї точки), а з другий - вимірювати площі, обсяги, довжини дуг, роботу сил за певний проміжок часу і т. п.
Символ введений Лейбніцем (1675). Цей знак є зміною латинської літери S (першої літери слова сума). Саме слово інтеграл придумав Я. Бернуллі (1690). Ймовірно, воно походить від латинського integero, що перекладається як приводити в колишній стан, відновлювати. (Дійсно, операція інтегрування відновлює функцію, диференціюванням якої отримана подинтегральная функція.) Можливо походження слова інтеграл інше: слово integer означає цілий.
Для відшукання невизначеного інтеграла використовують таблиці основних інтегралів, властивості інтеграла (зокрема, лінійність), тотожні перетворення (так зване безпосереднє інтегрування), а також застосовують різні спеціальні прийоми, що дозволяють привести вихідні інтеграли до табличних.
Інтегральне числення - це розділ математики, в якому вивчаються властивості і способи обчислення інтегралів, та їх застосування до вирішення різних математичних, фізичних та інших завдань. У систематичній формі інтегральне числення було запропоновано в 17 в. І. Ньютоном і Г. Лейбніцем. Інтегральне числення тісно пов'язане з диференціальним численням; інтегрування (знаходження інтеграла) є дія, зворотне диференціюванню: по даній неперервної функції f (x) шукається функція F (x) (первообразная), для якої f (x) є похідною. Разом з F (x) первообразной функцією для f (x) є і F (x) + C, де С - будь-яка постійна. Загальний вираз F (x) + C первісних неперервної функції f (x) називається невизначеним інтегралом; він позначається. Визначеним інтегралом неперервної функції f (x) на відрізку [a, b], розділеному точками, називається межа інтегральних сум, де, за умови, що найбільша різниця прагне до нуля і число точок ділення необмежено збільшується; його позначають (самий знак виник з першої літери S латинського слова Summa). Через певні інтеграли виражаються площі плоских фігур, довжини кривих, обсяги і поверхні тіл, координати центрів тяжіння, моменти інерції, робота, вироблена даної силою, і т. Д. Про зв'язок між певним інтегралом і первообразной см. Ньютона - Лейбніца формула.
РОЗДІЛ 1. НЕВИЗНАЧЕНИЙ ІНТЕГРАЛ
1.1 Первісна та невизначений інтеграл
Розглянемо задачу: Дана функція f (x); потрібно знайти таку функцію F (x), похідна якої дорівнює f (x), тобто. F? (x)=f (x).
Визначення: 1.Функция F (x) називається первообразной від функції f (x) на відрізку [a, b], якщо у всіх точках цього відрізка виконується рівність
? (x)=f (x).
Приклад. Знайти первообразную від функції f (x)=x2.Із визначення первообразной випливає, що функція F (x)=х3/3 є первісною, так як (х3/3)?=X2.
Легко бачити, що якщо для даної функції f (x) існує первообразная, то ця первообразная не є єдиною. Так, в попередньому прикладі можна було взяти в якості первісних наступні функції:
,
або взагалі
(де С- довільна постійна), так як. З іншого боку, можна довести, що функціями виду вичерпуються всі первісні від функції x2. Це випливає з наступної теореми.
Теорема. Якщо F1 (x) і F2 (х) - дві первісні від функції f (x) на відрізку [a, b], то різниця між ними дорівнює постійному числу.
Доказ. У силу визначення первообразной маємо
? (х)=f (x), F2? (х)=f (x) (1)
При будь-якому значенні х на відрізку [a, b].
Позначимо
(х) - F2 (х) =? (х). (2)
Тоді на підставі рівностей (1) буде F? 1 (х) - F? 2 (х)=f (x) - f (x)=0 або ?? (х)=[F? 1 (х)- F? 2 (х)] ?? 0 при будь-якому значенні х на відрізку [a, b]. Але з рівності ?? (х)=0 випливає, що? (Х) є постійна. Дійсно, застосуємо теорему Лагранжа до функції? (Х), яка, очевидно, неперервна і диференційовна на відрізку [a, b]. Яка б не була точка х на відрізку [a, b], ми маємо в силу теореми Лагранжа? (Х) -? (А)=(х-а) ?? (z), де а lt...
