/>
Інтегрування правильної раціональної дробу зводиться до інтегрування найпростіших дробів.
Розкладання правильного дробу на найпростіші дроби.
Простими є дробу наступних типів:
.;
. ; p>. ; p>. br/>
При цьому передбачається, що A, B, p, q - дійсні числа, а квадратний тричлен у дробах 3 і 4 типів не має дійсних коренів.
Теорема 3. Всяку правильну раціональну дріб, знаменник якої розкладений на неповторювані лінійні і квадратні множники
В
Можна уявити (і притому єдиним чином) у вигляді такої суми найпростіших дробів:
В В В
де A1, A2, ..., B1, B2, ..., C1, C2, ..., M1, N1, ... - Деякі дійсні коефіцієнти. Зазвичай невідомі коефіцієнти знаходяться за допомогою методу невизначених коефіцієнтів <# "51" src = "doc_zip55.jpg"/>
подинтегральних вираз має вигляд, розкладемо знаменник дробу на множники і отримаємо
В
Таким чином,. Значить
В
В
Тоді знайдемо вихідний інтеграл
В
первісний функція ірраціональний інтегрування
2. Інтегрування ірраціональних функцій
.1 Інтегрування алгебраїчних иррациональностей
Основним прийомом інтегрування тих чи інших класів диференціальних виразів є відшукання таких підстановок t = ? ( x), які призвели б підінтегральний вираз до раціонального увазі і дали б можливість представити інтеграл в кінцевому вигляді у функції від t. Якщо при цьому сама функція ? ( x), яку належить підставити замість t, виражається через елементарні функції, то інтеграл представиться в кінцевому вигляді та у функції від x.
Такий прийом називається методом раціоналізації подинтегрального вираження. [4]
Інтегрування функцій, де - раціональні числа.
Інтеграл виду
(1)
зводиться до інтеграла від раціональної функції за допомогою заміни
,
де - загальний знаменник дробів.
Дійсно, в цьому випадку
, Гћ;
,, ...,,
де,, ..., - цілі
Тоді
.
[5]
ПРИКЛАД 1. Знайти інтеграл
Підінтегральна функція має вигляд, тому зробимо заміну. Тоді і
В В В В
Повертаючись до змінної, остаточно отримуємо
.
ПРИКЛАД 2. Знайти інтеграл. p> Підінтегральна функція має вигляд, тому зробимо заміну. Тоді і
В В В
Повертаючись до старої змінної, остаточно отримуємо
В
.
Окремим випадком є ​​функція виду, яку називають дрібно-лінійної ірраціональністю, де a, b, c, d - постійні числа, m - натуральне число, ad - bc? 0. p> Заміна раціоналізує інтеграл. Справді,, звідки - раціональна функція від t. <В
