М пропорційній О± и фізичний маятник здійснює коливання, Период якіх візначається рівністю:
(3)
де J - момент інерції тіла відносно осі Обертаном.
Рівність (3) часто Використовують у техніці при дослідному візначені моменту інерції тіл за періодом їх Коливань відносно заданої осі.
Діференціальне рівняння руху фізічного маятника
Розглянемо рис.2, на якому введено декартову систему координат ( x , y , z ).
В
Рис. 2
Вважатімемо Вісь z нерухомости віссю Обертаном. Тіло, Яке обертається вокруг нерухомої осі, має одну ступінь вільності, тому узагальнення координату буде кут повороту П† . p> Виведення діференціального рівняння обертального руху тіла вокруг нерухомої осі детально Виклад в курсах механіки, я позбав наведу его вигляд:
(4)
де J z - момент інерції тіла відносно осі Обертаном, М z - головний момент сил, что діють на Тіло.
Зовнішнімі діючімі силами є вага маятника Р та Реакція вісі підвісу Х 0 , Y 0 . Головний момент ціх сил відносно осі z візначається моментом сили Р :
(5)
де m - маса маятника, g - Прискорення вільного Падіння біля поверхні Землі, d - Відстань центру масі маятника від качану координат. p> Підставівші Рівність (5) у Рівність (4), дістанемо діференціальне рівняння руху фізічного маятника:
(6)
Інтегруючі рівняння (6), Знайдемо закон Зміни кута повороту П† Зі зміною годині. p> Оскількі рівняння (6) інтегрується у еліптічніх функціях годині, обмежімося розгляда малих відхілень, для якіх можна покластись sin П† ≈ П† (7)
Тоді рівняння (6) Прийма вигляд:
(8)
в якому (9)
Таким чином, Малі відхілення фізічного маятника опісуються лінійнім одноріднім діференціальнім рівнянням іншого порядку з постійнімі коефіцієнтамі відносно узагальненої координат та П† .
Рівняння (8) інтегрується в Елементарна функціях. Загальний его розв'язок має вигляд:
(10)
Рухи, что їх опісує Рівність (10) Вє гармонійнімі коливання . У Цій рівності Постійна А назівається амплітудою Коливань, Постійна О± є початкова фазою Коливань, n - кругова частота. p> Константі А и О± візначаються з початкових умов.
Таким чином, при малих відхіленнях фізичний маятник здійснює гармонійні коливання.
У дійсності коливання маятника є позбав набліжено гармонійнімі, оскількі рівняння (10) є розв'язком набліженого діференціального рівняння руху.
Година ввести Поняття періоду Коливань фізічного маятника: періодом Коливань фізічн...
