онатися підстановкою, що рішення рівняння має вид: В
(3)
де (w 0 t + a 0 ) = a - фаза коливань; a 0 - початкова фаза при t = 0; w 0 - кругова частота коливань; A - їх амплітуда.
Отже, зсув x змінюється з часом за законом косинуса.
В
В
Отже, рух системи, що під дією сили виду f = - kx, являє собою гармонійне коливання.
Графік гармонійного коливання зображений на малюнку. Період цих коливань знаходиться з формули:
. br/>
Для пружинного маятника отримуємо:
. br/>
Кругова частота пов'язана із звичайною n співвідношенням:.
Енергія при гармонійному коливанні
З'ясуємо, як змінюється з часом кінетична Еk і потенційна Еп енергія гармонійного коливання. Кінетична енергія дорівнює:
, (4)
де k = m w 0 2 .
Потенційну енергію знаходимо з формули потенційної енергії для пружної деформації і використовуючи (3):
E П . (5)
Складаючи (4) і (5), з урахуванням співвідношення, отримаємо:
E = E K + E П =. (6)
Таким чином, повна енергія гармонійного коливання залишається постійною в відсутність сил тертя, під час коливального процесу кінетична енергія переходить в потенційну і навпаки.
Загасаючі коливання
Коливання, що відбуваються в системі при відсутності зовнішніх сил (Але за наявності втрат на тертя або випромінювання), називаються вільними. Частота вільних коливань залежить від властивостей системи та інтенсивності втрат.
Наявність тертя призводить до затухаючим коливанням. Коливання з спадної амплітудою називаються затухаючими.
Припустимо, що на систему, крім квазіпружної сили, діють сили опору середовища (тертя), тоді другий закон Ньютона має вигляд:
. (7)
Обмежимося розглядом малих коливань, тоді і швидкість системи буде малою, а при невеликих швидкостях сила опору пропорційна величині швидкості:
, (8)
де r - Коефіцієнт опору середовища. Знак " - " обумовлений тим, що F тр і V мають протилежні напрямки.
Підставимо (8) в (7). Тоді
або
В
Позначимо
,
де b - коефіцієнт загасання, w 0 - кругова частота власних коливань. Тоді
В
(9)
Рішення цього рівняння істотно залежить від знаку різниці: w 2 = w 0 2 -b 2 , де w - кругова частота згасаючих коливань. За умови w 0 2 -b 2 > 0, w є дійсною величиною і рішення (3) буде наступним:
В
(10)
Графік цієї функції даний на малюнку.
В
Рис. 2. Затухаючі колива...
