то існує така ненульова вектор-функція, что відповідає функціям і (тоб задовольняє спряженій Системі (8) з функціямі й), что:
1. Функція від змінної набуває максимуму в точці для будь-якого:
:.
У кінцевій момент годині має місце співвідношення,.
Умови теореми 1 дозволяють среди усіх траєкторій, что проходять через Дві задані точки ї, віділіті окремі Траєкторії, среди якіх перебуває и оптимальна Траєкторія, ЯКЩО вона існує. Ці умови є необхіднімі, альо НЕ достатнімі. Потрібна подальша перевірка знайдення траєкторій на оптімальність. Тільки в найпростішому випадка, коли знайдено позбав одну траєкторію, о з Деяк міркувань відомо, что оптимальний розв'язок існує, можна стверджуваті, что Знайду Траєкторія и є оптимальною.
Если принципом максимуму задовольняють кілька траєкторій, то для Виявлення среди них оптімальної треба застосовуваті додаткові умови. Іноді вдається відокреміті сторонні Траєкторії, порівнюючі Значення цільового функціонала. Альо оптимальна Траєкторія может буті НЕ Єдиною, а відкінуті Траєкторії, не будучи оптимальними, могут віявітіся локально оптимальними.
Продіференціюємо функцію Понтрягіна (9) за зміннімі і:
,,
,.
Тепер співвідношення (7) і (8) можна переписати у вігляді гамільтонової системи:
. (10)
Если,, задовольняють Системі (10) и умові 1 теореми 1, то Функції и змінного є сталь. Умова 2 теореми 1, таким чином, має місце в будь-який момент годині.
4 Принцип максимуму для задачі оптімальної швідкодії
окрем випадка крітерію (5) Вє крітерій
, (11)
Який назівається крітерієм оптімальної швідкодії, а відповідна Йому завдання - задачею оптімальної швідкодії. Оскількі у Формулі (11), то функція Понтрягіна для задачі оптімальної швідкодії матіме вигляд:
,
де.
Оскількі перший доданок НЕ поклади від, то максимум Функції по реалізується одночасно з максимумом Функції
,
де. Тому далі розглядатімемо нову гамільтонову систему, відкінувші Перші рівняння системи (10), что відповідають:
. (12)
Позначімо
.
Можна довести, что
.
З теореми 1 відповідно до умів І, віпліває, что:
1);
2) вектор-Функції и НЕ обертаються в нуль у жодній точці відрізка.
На Основі теореми 1 можна сформулюваті необхідні умови оптімальності в задачі швідкодії.
Теорема 2. Если, - оптимальний процес, то існує ненульовій Частинами розв'язок спряженої системи
,,
В
такий, что:
1. при шкірному значенні функція змінної набуває при максимального значення:
;
у кінцевій момент годині має місце співвідношення.
Як и у випадка теореми 1, перевірку умови 2 теореми 2 можна Проводити в будь-який момент годині.
