ни В. У такому випадку записують:
А ГЌ В.
Якщо А ГЌ В, але А В№ В, то А називають власним підмножиною множини В і позначають
А ГЊ В.
Наприклад, нехай; і. У цьому випадку А ГЊ В і є його власним підмножиною. Крім того, А ГЊ C. Однак В не належить С. Це записується у вигляді:
.
Очевидно, що, якщо А ГЌ В і B ГЌ A, то A = B.
Множини діляться на кінцеве і нескінченне в залежності від того, чи є число елементів, що входять до їх складу, кінцевим або ж нескінченним. Наприклад, безліч учасників змагання звичайно, а безліч точок, що лежать у колі, нескінченно. p> У багатьох математичних науках найчастіше вивчаються ЧИСЛОВІ безлічі, елементи яких - числа.
Глава II. Операції над множинами
Введемо операції над множинами і встановимо деяку аналогію з операціями над іншими математичними об'єктами, наприклад, висловлюваннями.
Операції над множинами та їх властивості багато в чому аналогічні алгебрі висловлювань. Це, як зазначалося, відображає єдність математичної науки і, завдяки використанню методу математичного моделювання, дозволяє знаходити її зв'язок з різними галузями знань. br/>В
Рис. 1. Об'єднання множин. p> ОБ'ЄДНАННЯМ множин A і B називається множина, що містить ті і тільки ті елементи, які належать хоча б одній з множин A чи B.
Схематично ця операція зображена на рис. 1. p> Вона задовольняє комутативні і асоціативні законам:
В В
Очевидні співвідношення:
В В
Безліч E називається універсальним для деякої системи множин, якщо кожне з них належить цій безлічі, тобто є його підмножиною.
Можна вважати тому, що
В
перетин множин A і B називається множина, що містить ті і тільки ті елементи, які належать і A, і B одночасно.
Схематично операція перетину множин подана в вигляді (рис. 2).
Для цієї операції також справедливі комутативними і асоціативний закони:
;
В
Множини A і B називаються непересічних, якщо
В
Операції об'єднання і перетину множин підкоряються законам дистрибутивности:
;
.
В
Рис. 2. Перетин множин. br/>
різниці двох множин A і B називається множина A B, що складається з тих і тільки тих елементів, які належать A, але не належать B.
В
Рис. 3. Різниця множин. br/>
Ця операція зображена на рис. 3. p> доповненням множини A до універсальної множини E називається різниця E A і позначається (рис. 4).
В
Рис. 4. Доповнення множини А до універсальної множини Е:. p> праведліви співвідношення:
1. . p>. . p>. . p>. . p>. . p>. . p>.
Будемо позначати через кількість елементів множини A, якщо воно звичайно.
Для кінцевих множин A і B справедлива формула:
(1)
Дійсно, якщо множини...
