в? і, то паралельний перенесення дотичній t вздовж? в точку n =? (U) відбувається наступним чином: нехай? - Єдиний горизонтальний підйом кривої?, Що проходить через, де. Тоді якщо? (S) = (? (S), і, то є, за визначенням, паралельним перенесенням t. Легко перевірити, в силу інваріантності зв'язності щодо правого дії, що це перетворення не залежить від вибору b над m.
На В (М) завжди визначені деякі горизонтальні 1-форми, які не залежать ні від якої зв'язності на цьому розшаруванні. Визначимо l-форми зміщення наступним чином. Нехай, де. p> Тоді
В
Інакше, ці можна розглядати як одну-значну 1-форму? виду
Лемма 1 . Форма зміщення задовольняє таким умовам:
,
(II)? горизонтальна,
(III)? еквіваріантна, тобто для кожного
,
причому в правій частині g вважається чинним зліва в. p> Доказ (II) очевидно. Для доказу (III) візьмемо
В
Маємо
В
Далі,
В
так що
В
Звідси, як і стверджувалося. p> Доказ властивості (I) пряме. Нехай yi, yjk-координати твори на координатної околиці в В (М). Нам потрібно показати, що і належать. У силу (II),, тому треба розглянути лише. Але
,
де. Отже,
В
Ч.Т.Д.
Формою кручення? аффинной зв'язності H на В (М) називається-значна 2-форма
В
Легко перевірити, що? - Горизонтальна З В° В°-форма, що є еквіваріантной, тобто
В
Зв'яжемо тепер форми кривизни та кручення з базисними векторними полями даної зв'язності. Лемма 2 . Нехай. Тоді
,
т. е. кривизна і кручення виявляються вертикальної і горизонтальної складовими дужки двох базисних векторних полів.
Доказ. Покажемо, що? і?, застосовані до обох частин рівності, дають одну і ту ж функцію; цього достатньо, оскільки? і? - Параллелізующіе форми, тобто двоїсті до безлічі параллелізующіх векторних полів. Обчислення правої частини неважко, оскільки вертикально, а Е (z) горизонтально:
В
Щоб застосувати? і? до лівої частини, скористаємося інваріантними формулами для зовнішніх похідних.
.2 Структурні рівняння аффинной зв'язності
Нехай ? - аффинная зв'язність на В (М). Нехай ?,?,?,? - її 1-форма зв'язності, форма зміщення, форма кривизни і форма кручення відповідно.
Теорема. Мають місце рівності
В
Ці рівності називаються першим і другим структурними рівняннями зв'язності.
Доказ. Друге структурний рівняння - це просто структурний рівняння для зв...
