'язності на головному розшаруванні. Для виведення першого структурного рівняння доведемо наступний більш загальний результат.
Теорема. Нехай? є-значна еквіваріантная горизонтальна p-форма на В (М), тоді
В
Доказ. Ми обчислюємо обидві частини рівності на векторних полях, взятих із сукупності векторних полів, локально породжують дотичний простір до В (М). Розглянемо ті ж випадки, що й колись. p> (I) Ніяке Уi-ні вертикально. Можна припустити, що всі Yi горизонтальні. Але тоді член?? звертається до 0 і залишається згадати визначення D?. p> (II) Одне? i вертикально. Припустимо, що?? +1 =??,. Як і раніше, виберемо правоінваріантние горизонтальні Уi так, що [? I,??] = 0, i = 1, ..., р. Тоді,
В
Уявімо? як матричну операцію на Rd, отримаємо
В
З іншого боку, D ? (Y i , ...,? ? ,??) = 0, так як D ? горизонтально, тому права частина дає -
В В
Таким чином, обидві частини рівності призводять до однакових результатів. p> (III) Два з Yi вертикальні. У цьому випадку всі звертається в нуль, і рівність виконується автоматично. Ч. Т. Д.
1.3 Експонентні відображення
Експоненціальне відображення в точці - це деяке відображення околиці U нуля простору Мm в різноманіття?
В
Для тих, для яких визначено, воно задається наступним чином. Нехай геодезична? в? (Однозначно) визначена умовами? (0) = m,? * (0) = t. Тоді
В
Зауважимо, що при матеріальному u, якщо тільки? (u) існує. Область визначення - це відкрите підмножина в Мm, зоряне відносно в тому сенсі, що разом зі всякою своєю точкою t воно містить і весь відрізок прямої від 0 до t. p> Крім цього експоненціального відображення розглянемо також деякий підйом у В (М). Для c визначимо, де - єдиний горизонтальний підйом кривої? через b.
Так як? - Геодезична, то - інтегральна крива поля Е (х), де bx =? * (0) = t. p> Ми покажемо, що, так чтo. Звідси негайно випливає, що ехрm здійснює дифеоморфізми своєї області визначення на околиця точки m, так як чином d expm служить все Мm: дійсно, якщо - базис в Мm, а - зв'язаний базис, то причому розмірності Мm і? однакові.
Теорема.
Доказ. Проведемо його в дещо більш загальному вигляді. Розглянемо аффинное розшарування А (М) над М, тобто розшарування, простір якого складається з пар, а проекцією служить. Це різноманіття з очевидною дифференцируемой структурою. Визначимо відображення
В
афінний зв'язність експонентний відображення
рівністю
В
Кожне дає векторне поле на В (М). Очеви...
