n="justify"> = 2b ВІ .
В§ b ВІ = 2y < span align = "justify"> ВІ , отже b ВІ парне, тоді і b парне.
В§ Однак було доведено, що b непарне. Протиріччя.
Це ставлення згодом було названо невимовним (відношення несумірних величин). Існує відома легенда, що інші піфагорійці викинули Гіппаса за борт (вважають, що своє відкриття він зробив під час морського походу) за "створення елемента всесвіту, який заперечує доктрину, що всі сутності у всесвіті можуть бути зведені до цілим числам та їх відносинам" . Однак смерть математику не перервала надовго вивчення греками иррациональностей, хоча і поставила перед піфагорійцями серйозну проблеми, зруйнувавши припущення про нероздільність чисел і геометричних об'єктів. p align="justify"> Феодор Киренський (кінець V - початок VI століття до н.е.) довів ірраціональність коренів з натуральних чисел від 1 до 17, виключаючи 1, 4, 9 та 16. На цьому він зупинився, так як імеющаеся в його розпорядженні алгебра не дозволяла довести ірраціональність кореня з 17. Імовірно, він, як і Гіппас, для своїх доказів користувався піфагорейської теорією парних і непарних чисел. Пізніше Евдокс Кнідський розвинув теорію пропорцій, яка брала до уваги як раціональні, так і ірраціональні відносини. Величина в його теорії стала вважатися не числом, а позначенням сутностей, таких як відрізки прямих, кути, площі, обсяги, проміжки часу - які можуть змінюватися безперервно в сучасному розумінні цих слів. Числа ж могли змінюватися лише стрибками (від 4 до 5, наприклад). Прибравши з рівнянь кількісні значення (ніяке кількісне значення не співставляє величиною), Евдокс при визначенні дробу зміг охопити як відносини сумірних величин, так і несумірних, і тим самим уникнув пастки, що складається в необхідності назвати ірраціональну величину числом. Його теорія дала грецьким математикам необхідне логічне обгрунтування для роботи з непорівнянними і дозволила здійснити величезний прогрес в геометрії. p align="justify"> Середні століття ознаменувалися прийняттям таких понять як нуль, негативні числа, цілі і дробові числа. Арабські математики першими стали вважати негативні числа алгебраїчними об'єктами поряд з позитивними, що поклало початок розвитку алгебри. Вони також з'єднали давньогрецькі поняття "величини" і "числа" в єдину, більш загальну ідею дійсних чисел. Перський математик Аль Махане (приблизно 800 рр.. Н.е.) у своїх коментарях до Десяти Елементам Евкліда досліджував і класифікував квадратичні і кубічні ірраціональності. Він також ввів арифметичний підхід до безлічі ірраціональних чисел:
"результат додавання ірраціональної величини...
