х теорем. У зв'язку з цим сучасну математичну логіку визначають як розділ математики, присвячений вивченню математичних доказів і питань основ математики. br/>
Математична логіка
У аксіоматичному побудові математичної теорії попередньо вибирається деяка система невизначуваних понять і відносини між ними. Ці поняття і відносини називаються основними. Далі без докази приймаються основні положення розглянутої теорії - аксіоми. Все подальше зміст теорії виводиться логічно з аксіом. Вперше аксіоматична побудова математичної теорії було зроблено Евклидом в побудові геометрії. Виклад цієї теорії в Засадах не бездоганне. Евклід тут намагається дати визначення вихідних понять (точки, прямої, площини). У доказі теорем використовуються ніде явно не сформульовані положення, які вважаються очевидними. Таким чином, в цьому побудові відсутня необхідна логічна строгість, хоча істинність всіх положень теорії не викликає сумнівів.
Зазначимо, що такий підхід до аксиоматическому побудови теорії залишався єдиним до XIX століття. Велику роль у зміні такого підходу зіграли роботи Н. І. Лобачевського (1792-1856). Лобачевський вперше в явному вигляді висловив переконання в неможливості докази п'ятого постулату Евкліда і підкріпив це переконання створенням нової геометрії. Пізніше німецький математик Ф. Клейн (1849-1925) довів несуперечність геометрії Лобачевського, чим фактично була доведена і неможливість докази п'ятого постулату Евкліда. Так виникли і були вирішені в роботах Н. І. Лобачевського і Ф. Клейна вперше в історії математики проблеми неможливості докази і несуперечності в аксіоматичної теорії. Несуперечливість аксіоматичної теорії є однією з основних вимог, що пред'являються до системи аксіом цієї теорії. Вона означає, що з цієї системи аксіом не можна логічним шляхом вивести два суперечливих один одному затвердження. p align="justify"> Доказ несуперечності аксіоматичних теорій можна здійснити різними методами. Одним з них є метод моделювання або ІНТЕРПРЕТАЦІЙ. Тут в якості основних понять і відносин вибираються елементи деякої множини і відносини між ними, а потім перевіряється, чи будуть виконуватися для обраних понять і відносин аксіоми цієї теорії, тобто будується модель для даної теорії. Так, аналітична геометрія є арифметичною інтерпретацією геометрії Евкліда. Ясно, що метод моделювання зводить питання про несуперечності однієї теорії до проблеми несуперечності іншої теорії. Більшість інтерпретацій для математичних теорій (і, зокрема, для арифметики) будується на базі теорії множин. Однак наприкінці XIX століття в теорії множин були виявлені суперечності (парадокси теорії множин). Яскравим прикладом такого парадоксу є парадокс Б. Рассела. Розіб'ємо всі мислимі безлічі на два класи. Назвемо безліч нормальним , як...
