що воно не містить себе в якості свого елемента і ненормальним в іншому випадку. Наприклад, безліч всіх книг - нормальне безліч, а безліч всіх мислимих речей - ненормальне безліч. Нехай L - безліч всіх нормальних множин. До якого класу належить безліч L? Якщо L - нормальне безліч, то L ГЋ < span align = "justify"> L, тобто міститься в класі нормальних множин, але тоді воно містить себе в якості свого елемента, і тому ненормально . Якщо L - ненормальне безліч, то L ГЏ < span align = "justify"> L, тобто не міститься серед нормальних множин, але тоді L не містить себе в якості свого елемента, і тому воно нормально . Таким чином, поняття нормального безлічі призводить до протиріччя.
Спроби усунути протиріччя в теорії множин призвели Цермело до необхідності побудувати аксіоматичну теорію множин. Наступні видозміни та удосконалення цієї теорії привели до створення сучасної теорії множин. Однак кошти цієї аксіоматичної теорії не дозволяють довести її несуперечливість. Інші методи обгрунтування математики були розвинені Д. Гілберта (1862-1943) і його школою. Вони грунтуються на побудові математичних теорій як синтаксичних теорій, в яких всі аксіоми записуються формулами в деякому алфавіті і точно вказуються правила виведення одних формул з інших, тобто в теорію як складова частина входить математична логіка. p align="justify"> Таким чином, математична теорія, несуперечливість якої було довести, стала предметом іншої математичної теорії, яку Гілберт назвав метаматематику, або Теорія доказів. У зв'язку з цим виникає завдання побудови синтаксичної, тобто формалізованої аксіоматичної теорії самої математичної логіки. Вибираючи по-різному системи аксіом і правила виведення одних формул з інших, отримують різні синтаксичні логічні теорії. Кожну з них називають логічного числення. br/>
Предмет математичної логіки
Основна ідея математичної логіки - формалізація знань і міркувань. Відомо, що найбільш легко формалізуються знання - математичні. Таким чином, математична логіка, по-суті, - наука про математику, або метаматематика. Центральним поняттям математичної логіки є `` математичне доказ''. ...
