Визначник третього порядку обчислюється за формулою
В
Існує зручна схема для обчислення визначника третього порядку (див. рис. 1 і рис. 2).
В
За схемою, наведеною на рис. 1, твори з'єднання елементів беруться зі своїм знаком, а за схемою рис. 2 - з зворотним. Величина визначника дорівнює алгебраїчній сумі отриманих шести творів. p align="justify"> У визначнику порядку n алгебраїчним доповненням елемента, що стоїть на перетині k-го стовпця і l-й рядки, називається визначник порядку (n - 1), одержуваний з даного викреслюванням в ньому рядка і стовпчика, на перетині яких стоїть цей елемент, причому до цього определителю приєднується множник (-1) k + l, де (k + l) - сума номерів викресленої рядка і стовпчика. Алгебраїчне доповнення елемента, що розглядається без множника (-1) k + l, називається мінором цього елемента. p align="justify">. Теорема Лапласа. p align="justify"> Визначник дорівнює сумі добутків кожного елемента деякою рядки (чи шпальти) на його алгебраїчне доповнення.
Домовимося позначати елементи визначника маленькими літерами, а їх алгебраїчні доповнення - відповідними великими літерами з тими ж індексами. Так, як алгебраїчне доповнення елемента a3 будемо позначати через A3, алгебраїчне доповнення елемента d4 - через D4 і т. д. На підставі властивості 8 визначник (3) може бути представлений, наприклад, в такому вигляді:
D = a3A3 + b3B3 + c3C3 + d3D3 + e3E3
Це рівність являє собою розкладання визначника за елементами третього рядка. По властивості 8 обчислення визначника порядку n зводиться до обчислення визначників порядку (n - 1). p align="justify">. Якщо всі елементи якого-небудь ряду визначника, крім одного, дорівнюють нулю, то визначник дорівнює цьому не рівній нулю елементу, помноженому на його алгебраїчне доповнення. p align="justify"> За допомогою зазначених властивостей можна обчислити визначник будь-якого порядку.
1.2 Знаходження оберненої матриці методом Гаусса
лінійний алгебра гаус матриця визначник
Метод Гаусса є воістину універсальним методом у лінійної алгебри, оскільки він застосовний і до вирішення систем лінійних рівнянь, і до вирішення визначників, і до відшукання оберненої матриці.
Теорема:
Нехай А квадратна невироджених матриця. Якщо матриця (А | E) наведена за допомогою елементарних перетворень рядків до виду (Е | A-1), де Е - одинична матриця того ж порядку, що і матриця А.
З теореми слід метод знаходження зворотної матриці методом Гаусса
) до матриці А приписати праворуч одиничну матрицю Е тієї ж розмірності;
) шляхом перетворень методом Гаусса над рядками розширеної матриці (А | E) матриця А наводиться до одиничної матриці;
