)=stt (x, y, z, t) (1.1)
де с - швидкість звуку в рідині.
На верхній межі рідина піддається впливу з боку покриття
? 0 =-q (x, y) · е-ie? (1.2)
a на нижній з боку недеформіруемое півпростору:
? 0=0 (1.3)
де q (x, y) - невідомі тиску на межі розділу середовищ, а? 0 - щільність рідини.
Як покриття розглядається двовимірна деформируемая пластина з усередненими по товщині параметрами, рух якої описується диференціальним рівнянням:
+ + q1=b1,
+ +? + Q2=b2,
4 u3 + q3=b3,
де h - товщина покриття, - коефіцієнт Пуассона, Е-модуль Юнга,?- Щільність матеріалу пластини, u1, 2 (x, y, t) - переміщення точок серединної поверхні вздовж координатних ліній, u3 (x, y, t) - прогин серединної поверхні, qi (x, y, t) - компоненти контактних напружень діючих на нижню межу, з боку рідини, i=1, 2, 3, bi (x, y, t) - описує зовнішній вплив.
В умовах гармонійних впливів:
b1=b2=0, b3=А? (х-х0)? (у-у0) е-ie? ,
ui (x, y, t)=u (x, y) е-ie? ,
Система рівнянь руху пластини прийме вигляд:
R ((1.4)=·
е33 =-e11, E =, eij=0, i? j, e11=e22=
Диференціальний R (має такі операторні компоненти:
R (=
E=
де, =, =,? ,,
Взаємодія середовищ визначається рівністю вертикальних состовляющих швидкостей точок рідини і покриття в зоні контакту:
? z=h1=0. (1.5)
2. Рішення завдання для шару рідини
У плоскій постановці з урахуванням встановленого режиму коливань, крайова задача (1.1) - (1.3) для рідини може бути записана у вигляді
(2.1)
Застосуємо до рівняння двовимірне експоненціальне перетворення Фур'є по змінним x і y, і після низки перетворень отримаємо:
?" = (+)?. (2.2)
Після застосування двовимірного експоненціального перетворення Фур'є до граничних умов, вони приймають такий вигляд:
(2.3)
де=dxdy=F (x, y)
В результаті отримаємо рішення задачі (2.2) з граничними умовами (2.3), залежне від невідомої функції.
? (= (2.4)
де =.
3. Рішення завдання для покриття
Застосуємо до рівнянь руху пластини (1.4) двовимірне перетворення Фур'є по змінним х і у, отримаємо:
R (U E=B, (3.1)
R (U=
=,
Де U ()=Fu (x, y), ()=Fq (x, y), B ()=Fb (x, y),
В =.
Підставами ці вирази в (3.1), отримаємо систему рівнянь:
З цієї системи рівнянь висловимо:
(3.2)
4. Побудова образів Фур'є напружень на межі розділу середовищ
Для знаходження образів Фур'є скористаємося умовами (1.5), застосовуючи до них перетворення Фур'є, враховуючи гармонійний характер коливань, отримаємо:
i? +=0 (4.1)
Перетворимо окремо вирази для? (2.4) і (3.2)
=
На межі розділу середовищ маємо:
=.
=.
Підставивши отримані вирази в (4.1) отримаємо:
i? +=0
Висловимо.
Знайдемо нулі знаменника:
=0
...
