ішення багатьох диференціальних рівнянь немає виражаються в елементарних функціях або квадратурі. У цих випадках користуються наближеними методами інтегрування диференціальних рівнянь. Одним з таких методів є представлення розв'язку рівняння у вигляді статечного ряду; сума кінцевого числа членів цього ряду буде наближено дорівнює шуканого рішення. Цим обумовлена ??актуальність обраної теми дослідження.
Мета даної роботи: показати застосування методу статечних рядів при інтегруванні диференціальних рівнянь.
Об'єктом дослідження виступає процес інтегрування диференціальних рівнянь методом статечних рядів.
Предметом дослідження є форми, методи і засоби інтегрування диференціальних рівнянь статечними рядами.
У відповідності з поставленою метою можна сформулювати основні завдання даної роботи:
. Розглянути основні поняття, пов'язані з рядами і диференціальними рівняннями.
. Проаналізувати метод інтегрування диференціальних рівнянь за допомогою статечних рядів.
. Застосувати метод статечних рядів для вирішення різних завдань.
Структура роботи: титульний аркуш, бланк завдання на роботу, анотація, зміст, вступ, основна частина, висновок, список використаної літератури.
Основна частина роботи складається з двох розділів. У першому розділі розкриваються поняття ряду, статечного ряду, ряду Тейлора, диференціальних рівнянь. У другому розділі розглянуті приклади інтегрування диференціальних рівнянь статечними рядах.
Для дослідження теоретичної частини роботи використовувалися матеріали навчальної літератури та періодичних видань, зазначені у списку використаної літератури.
Обсяг роботи: 26 сторінок.
1. ОСНОВНІ ПОНЯТТЯ, ПОВ'ЯЗАНІ З рядами і диференціальних рівнянь
1.1 Ряди. Основні поняття. Необхідний ознака збіжності
У математичних додатках, а також при вирішенні деяких завдань в економіці, статистиці та інших областях розглядаються суми з нескінченним числом доданків. Тут ми дамо визначення того, що розуміється під такими сумами.
Нехай задана нескінченна числова послідовність. Числовим поруч або просто поруч називається вираз (сума) виду
, (1.1)
числа називаються членами ряду, - загальним чи n-м членом ряду.
Щоб задати ряд (1.1) досить задати функцію натурального аргументу обчислення n-го члена ряду за його номером
Приклад 1.1. Нехай. Ряд
(1.2)
називається гармонійним поруч.
З членів ряду (1.1) утворюємо числову послідовність часткових сум де - сума перших членів ряду, яка називається n-й часткової сумою, тобто
(1.3)
Числова послідовність при необмеженому зростанні номера може:
) мати кінцевий межа;
) не мати кінцевого межі (межа не існує або дорівнює нескінченності).
Ряд (1.1) називається збіжним, якщо послідовність його часткових сум (1.3) має кінцевий межа, тобто
У цьому випадку число називається сумою ряду (1.1) і пишеться
Ряд (1.1) називається розбіжним, якщо послідовність його часткових сум не має кінцевого межі. Розбіжними р...
