яду не приписують ніякої суми.
Таким чином, завдання знаходження суми сходиться ряду (1.1) рівносильна обчисленню границі послідовності його часткових сум.
Теорема 1.1 (Необхідний ознака збіжності ряду): якщо ряд (1.1) сходиться, то його загальний член прямує до нуля при необмеженому зростанні n, тобто
(1.4)
Доказ теореми випливає з того, що, і якщо
S - сума ряду (1.1), то
Умова (1.4) є необхідною, але недостатньою умовою для збіжності ряду. Тобто, якщо загальний член ряду прямує до нуля при, то це не означає, що ряд сходиться. Наприклад, для гармонійного ряду (1.2)
однак, він розходиться.
Слідство (Достатній ознака расходімості ряду): якщо загальний член ряду не прагне до нуля при то цей ряд розходиться [3].
Приклад 1.2. Дослідити на збіжність ряд
Для цього ряду Отже, даний ряд розходиться [4].
1.1
1.2 Степеневі ряди. Властивості степеневих рядів
Степеневі ряди є окремим випадком функціональних рядів.
Статечним рядом називається функціональний ряд вигляду
(1.5)
тут - постійні дійсні числа, звані коефіцієнтами степеневого ряду;
- деяке постійне число;
- змінна, що приймає значення з безлічі дійсних чисел.
При статечної ряд (1.5) приймає вид
(1.6)
Статечної ряд (1.5) називають поруч за ступенями різниці ряд (1.6) - поруч за ступенями Якщо змінній надати якесь значення, то степеневий ряд (1.5) (або (1.6)) перетворюється на числовий ряд, який може сходитися або розходитися.
Областю збіжності степеневого ряду називається безліч тих значень при яких статечної ряд сходиться.
Теорема 1.2 (Теорема Абеля): якщо статечної ряд (1.6) сходиться при то він абсолютно сходиться при всіх значеннях задовольняють нерівності якщо ж ряд (1.6) розходиться при то він розходиться при всіх значеннях задовольняють нерівності
Теорема Абеля дає чітке уявлення про структуру області збіжності степеневого ряду.
Теорема 1.3: область збіжності степеневого ряду (1.6) збігається з одним із наступних інтервалів:
); 2); 3); 4),
де - деяке невід'ємне дійсне число або
Число називається радіусом збіжності, інтервал - інтервалом збіжності степеневого ряду (1.6).
Якщо то інтервал збіжності являє собою всю числову вісь
Якщо то інтервал збіжності вироджується в точку
Зауваження: якщо - інтервал збіжності для статечного ряду (1.2), то - інтервал збіжності для статечного ряду (1.5).
З теореми 1.3 випливає, що для практичного знаходження області збіжності степеневого ряду (1.6) достатньо знайти його радіус збіжності та з'ясувати питання про збіжність цього ряду на кінцях інтервалу збіжності тобто при і
Радіус збіжності степеневого ряду можна знайти по одній з наступних формул:
формула Даламбера:
формула Коші:
Приклад 1.3. Знайти радіус збіжності, інтервал збіжності та область збіжності степеневого ряду
Знайдемо радіус збіжності даного ряду за формулою
У нашому випадку
Тоді
Отже, інтервал збіжності даного ряду має вигляд
Досліджуємо збі...
