/>
4. Постановка завдання
.1 Огляд існуючих методів
Для вирішення нелінійних рівнянь користуються такими методами: метод хорд, метод ітерацій, метод половинного ділення, комбінований метод, метод дотичних, метод перебору, метод хорд-дотичних. Розглянемо перші три методу.
. Метод хорд. Замінимо на відрізку [a, b] криву y=f (x) хордою, яка з'єднує точки А і В (рис.1.). За наближене значення кореня виберемо точку перетину хорди з віссю ох. Значення функції f (x1) порівнюємо зі значеннями f (a) і f (b). Надалі розглядаємо відрізок [a1, b1]=[a1, x1], якщо f (a) f (x1) <0, і відрізок [a1, b1]=[x1, b] в іншому випадку. Для знаходження наближеного значення кореня маємо формулу:
+1=xn + c-xn/1-f (c) / f (xn)
де xn + c-xn - чисельник,
-f (c) / f (xn) - знаменник,
С - нерухомий кінець відрізка [a, b].
За нерухомий кінець слід вибирати точку с=а, якщо f (a) f (a)> 0, і точку з=b, якщо f (b) f (b)> 0.
У разі, коли має місце нерівність
М? 2m1,
де=min | f (x) |, M1=max | f (x) |
[a, b] [a, b]
для оцінки неточності можна користуватися формулою
| x *-x | <| xn +1- xn |
(Рис.1)
Недолік цього методу в неточності обчислень.
. Метод ітерацій. При вирішенні нелінійного рівняння методом ітерацій користуються записом рівняння у вигляді x=f (x). (Рівняння f (x)=0 замінили рівнозначним). Задаються початкове значення аргументу x0 і точність?. Перше наближення рішення x1 знаходимо з виразу x1=f (x0), друге - x2=f (x1) і т.д. У загальному випадку i +1 наближення знайдемо за формулою xi +1=f (xi). Вказану процедуру повторюємо поки | f (xi) |> ?. Умова збіжності методу ітерацій | f '(x) | <1.
Недоліки цього методу в тому, що необхідно вводити допоміжну функцію і в незручність обчислення. Але в той же час, проста итерационная формула і не потрібні додаткові дослідження функцій.
. Метод половинного ділення. При вирішенні нелінійного рівняння методом половинного ділення задаються інтервал [a, b], на якому існує тільки одне рішення, і бажана точність?. Потім визначається середина інтервалу с=(а + b) / 2 і перевіряється умова F (a)? F (c) <0. Якщо зазначена умова виконується, то праву межу інтервалу b переносимо в середню точку с (b=c). Якщо умова не виконується, то в середню точку переносимо ліву кордон (a=c). Розподіл відрізка навпіл продовжується поки | ba |> ?.
Ці методи використовуються лише для безперервних функцій і шукають тільки дійсні корені. (Винятком є ??метод Лобачевського, який дозволяє знаходити і комплексні корені).
.2 Аналіз методу дотичних (метод січних Ньютона)
В основу методу дотичних лежить ідея лінеаризації. Але в цьому випадку, крива y=f (x) послідовно заміщається дотичними, для яких знаходиться точка перетину з віссю ox (рис.2) (у разі дійсних коренів). Формула для послідовних наближень до кореня:
+1=xn-f (xn) / f (xn)
...
