Причому, x0=a, якщо f (a) f (a)> 0, і x0=b, якщо f (b) f (b)> 0.
Метод Ньютона найбільш ефективний при вирішенні тих рівнянь, у яких значення модуля похідної | f (x) | наближення кореня досить великий, тобто графік функції f (x) навколо даного кореня має швидку збіжність.
Для контролю збіжності можна використовувати умову:
| xn +1- xn |
[a, b]
(Рис.2)
.3 Рішення нелінійного рівняння аналітично
Метод Ньютона розглянуто на нижеприведенном рівнянні:
?-X?- 2x? +3 X - 3=0
-й етап: знаходження проміжків, в яких знаходиться корінь рівняння.
(x)=x?-X?- 2x? +3 X - 3
Область допустимих значень функції f (x) вся числова вісь: є] -?,? [.
Знайдемо f (x): f (x)=4x?- 3x?- 4x +3
Знайдемо коріння похідної: 4x?- 3x?- 4x +3=0
x (x? - 1) - 3 (x? - 1)=0
(x? - 1) (4x - 3)=0=- 1; =1; =3/4.
Складемо таблицю значень функції f (x):
x -?- 1 3/41 +? Sign f (x) + --- +
Тобто, рівняння має 2 дійсних кореня, які знаходяться на проміжках: x1є] -?, - 1 [і x2є] 1,? [.
Зменшимо проміжки, які мають коріння таким чином, щоб їх довжина була не більша одиниці:
x - 2 - 11 2Sign f (x) + - +
Звідси видно, що x1є] - 2, - 1 [; x2є] 1,2 [.
-й етап: уточнення коренів за допомогою методу Ньютона.
Розглянемо проміжок [- 2;- 1], де знаходиться перший корінь x1.
=4x?- 3x?- 4x +3=12x?- 6x - 4 (a) * F2 (a)=392> 0
Замітка: під f1 (a) мається на увазі 1-я похідна, а під F2 (a) мається на увазі 2-я похідна.
=4x?- 3x?- 4x +3=min | y (x) |
[- 2;- 1]
x?- 6x - 4=0
x?- 3x - 2=0=b?- 4ac=9 +48=57,2 =-b ±? D/2a, 2=3 ±? 57/12=0,87 - не належить відрізку [- 2;- 1]=- 0,38
| f (- 2) |=| - 33 | (- 0,38)=3,87 (- 1)=0 m1 (min)=0=24x - 6 (- 2) =56 (- 1)=14 M2 (max)=56
Нижче дані згруповані в таблицю:
f1 (x) f2 (x) f (a) * F2 (a) abeps - 3356392-2-11E - 10
Розрахунки та графік функції, зроблені в Excel:
xnf (xn) f1 (xn) f2 (xn) Xn1Xn1-xnКорень (2 * m1 * Eps/M2) - 27-3356-1,787880,2121213,71772 E - 06-1,787881 ,1760227-22 ,29796545,08546-1, 735140,052741 - 1,735140,0615176-19,98753842,53931-1,732060,003078 - 1,732060,0002013-19,85683642,39279-1,732051,01 E- 05 - 1,732052,177 E - 09-19,85640642,3923-1,732051,1 E - 10 - 1,73205-3,55 E - 15-19,85640642,3923-1,732050
Як видно з розрахунків таблиці, перший корінь рамен: - 1,73205.
Розглянемо проміжок [1; 2], де знаходиться другий корінь x2.
=4x?- 3x?- 4x +3=12x?- 6x - 4
(f і f такі ж як і для першого кореня)
...
