ії порівняно з усіма многочленами (8) ступеня не вище.
Зауваження: Ми не ставили перед собою завдання вивчення умов збіжності. Відомо, що не всяку функцію можна розкласти в ряд Фур'є. Наведемо для прикладу лише одну умову збіжності:
.5 Ортогональні многочлени
Ортогональні многочлени можна ввести кількома способами:
I. ортогоналізації по Шмідту
Якщо сукупність ступенів ортогонолізіровать в матеріальному просторі функцій, сумміруемих з квадратом з вагою, то прийдемо до системи многочленів
ортогональних з вагою:
.
При,, ми прийдемо з точністю до постійних множників до системи многочленів Лежандра; при,, - до системи многочленів Лагерра.
II. Як рішення диференціальних рівнянь
Нехай вагова функція на інтервалі задовольняє диференціальному рівнянню Пірсона, тобто
,
і, крім того, на кінцях інтервалу ортогональності виконуються граничне співвідношення
Якщо вагова функціяудовлетворяет цим двом умовам, то ортогональний многочлен є рішенням диференціального рівняння
Диференціальні рівняння для многочленів Лежандра і Лагера:
) У разі многочленів Лежандра:
) У разі многочленів Лагерра:
III. Формула Родріга
Якщо вагова функція на інтервалі ортогональности задовольняє умові
, (1)
де
, (2)
то функція
(3)
є многочлен ступеня не вище.
Для класичних ортогональних многочленів має місце дуже важливе уявлення через вагову функцію, яке називається узагальненою формулою Родріга:
, (4)
де - деякі коефіцієнти.
) У разі многочленів Лежандра:
) У разі многочленів Лагерра:
IV. Через виробляють функції
Для системи многочленів, ортогональних з вагою на інтервалі при фіксованому можна розглядати статечної ряд і його суму
(1)
бо при деяких мінімальних умовах на вагову функцію цей ряд має позитивний радіус збіжності. Тоді функція F (x, w) називається виробляє функцією системи многочленів.
Розглянемо узагальнену формулу Родріга
(2)
де - комплексне число.
Якщо z - точка аналітичності функції, то для виробляє функції системи многочленів
(3)
має місце уявлення
(4)
де є той корінь квадратного рівняння
(5)
який при малих розташований ближче до точки.
Виробляють функції для класичних ортогональних многочленів:
1) У разі многочленів Лежандра:
, де
2) У разі многочленів Лагерра:
, де
V. Через рекурентні формули.
Для реалізації поставленого завдання (одержання ортогональних многочленів) найбільш зручним і швидким способом виявився метод рекурентних формул, за допомогою, якої зручно знаходити послідовні многочлени.
Рекурентні ф...
