/>
Оскільки вектори і неколінеарна, то вони утворюють базис на площині. Будь компланарності їм вектор можна представити у вигляді
Тому вихідну систему можна переписати у вигляді
Рішення цієї системи
Таким чином шуканий вектор
Геометричний сенс скалярного твори
Довжина вектора пов'язана зі скалярним твором формулою. Якщо вектор заданий своїми координатами в ортонормованій системі координат, то.
Таким чином
У багатьох випадках необхідно отримати одиничний вектор x, що має той же напрям, що і заданий ненульовий вектор a. Ця задача називається нормалізацією вектора. Оскільки шуканий вектор має той же напрям, то
скалярний твір вектор геометричний
Звідки
Дивись також Нормалізація вектора
Кут між ненульовими векторами пов'язаний зі скалярним твором формулою
Якщо вектори задані своїми координатами і в ортонормованій системі координат,
Практична частина
Завдання 1. У рівносторонньому трикутнику довжини сторін рівні 1. Обчислити
Рішення:
Завдання 2. Дан паралелограм. Довжини його сторін, кут. Обчислити довжину діагоналі паралелограма і знайти косинуси кутів між діагоналлю і сторонами паралелограма.
Очевидно. Тому довжина діагоналі
Кути між діагоналлю і сторонами
=
Завдання 3. Обчислити скалярний добуток векторів і, якщо=2,=3, а кут між ними дорівнює: a) 45; б) 90; в) 135.
Рішення: Скалярний добуток двох векторів обчислюється за формулою
а)=2
б)=2
в)=2.
Відповідь. а) 3; б) 0; в) - 3.
Завдання 4. Доведіть, що ненульові вектори {x; у} і {-у; x} перпендикулярні.
Рішення: Обчислимо скалярний твір даних векторів:
=x (-у) + у x=0. Так як, 0 і, то.
Завдання 5. Доведіть, що вектори + і - перпендикулярні, якщо і - координатні вектори.
Рішення: Нехай=+,=-. Обчислимо скалярний добуток векторів і:
=(+) (-)=- + -.
Так як == 1, == 0, то=0. Вектори і ненульові, тому.
Завдання 6. При якому значенні x вектори a і b перпендикулярні, якщо: а) {4; 5}, {x;- 6}; б) {x;- 1}, {3; 2}; в) {0;- 3}, {5; x}?
Рішення: Вектори і - ненульові, тому вони перпендикулярні тоді і тільки тоді, коли=0.
a)=4х - 5 6=0. Звідси випливає, що х=7,5, тобто при x=7,5 дані вектори перпендикулярні;
б)=x
в)=0 5 + (- 3) х=0, х=0.
Відповідь. а) 7,5; б) в) 0.
Завдання 7. Знайдіть косинуси кутів трикутника з вершинами A (2; 8)...
