складна операція замінюється вельми простий - простим множенням характеристичних функцій.
Теорема 4. Якщо випадкова величина має абсолютний момент n-го порядку, то характеристична функція величини дифференцируема n разів і при
(3)
Доказ. Дійсно k-кратне формальне диференціювання характеристичної функції призводить до рівності
(4)
Але
і, отже, в силу припущення теореми обмежений. Звідси випливає існування інтеграла (4) і законність диференціювання. Поклавши в (4) t=0, знаходимо що
Математичне сподівання і дисперсія вельми просто виражаються за допомогою похідних від логарифма характеристичної функції. Справді, покладемо
(легко зрозуміти, що існує в деякій околиці нуля). Тоді
Взявши до уваги, що і рівність (3), знаходимо, що
Звідси
(5)
Похідна k-го порядку логарифма характеристичної функції в точці 0, помножена на, називається семіінваріантом k-го порядку випадкової величини.
Як це безпосередньо випливає з теореми 3, при додаванні незалежних випадкових величин їх семіінваріанти складаються.
Ми тільки що бачили, що першими двома семіінваріантамі є математичне сподівання і дисперсія, тобто момент першого порядку і деяка раціональна функція моментів першого і другого порядків. Шляхом обчислень легко переконатися, що семіінваріант будь-якого порядку k є (ціла) раціональна функція k моментів. Для прикладу наведемо явні вирази семіінваріантов третього і четвертого порядків:
Розглянемо кілька прикладів характеристичних функцій.
Приклад 1. Випадкова величина розподілена за нормальним законом з математичним очікуванням a і дисперсією. Характеристична функція величини дорівнює
Підстановкою
приводиться до виду
Відомо, що за будь матеріальному a
отже,
Приклад 2. Знайти характеристичну функцію випадкової величини, розподіленої за законом Пуассона.
Згідно з припущенням величина приймає тільки позитивні значення, причому
де - постійна.
Характеристична функція дорівнює
Згідно 5 звідси знаходимо, що
Приклад 3. Випадкова величина рівномірно розподілена в інтервалі
(-a, a). Характеристична функція дорівнює
Приклад 4. Знайти характеристичну функцію величини, рівної числу появи події A в n незалежних випробуваннях, в кожному з яких ймовірність появи події A дорівнює p.
Величина може бути представлена ??як сума
n незалежних величин, кожна з яких приймає лише два значення 0 і 1, відповідно з ймовірнос...
