тями і p. Величина приймає значення 1, якщо подія A відбувається в k-м випробуванні, і значення 0, якщо подія A в k-м випробуванні не відбувається.
Характеристична функція дорівнює
Знайдемо ще характеристическую функцію величини
За теоремою 2 вона дорівнює
2.теорема Хеллі
Надалі нам будуть потрібні дві теореми чисто аналітичного характеру - перша і друга теореми Хеллі. Домовимося говорити, що послідовність неубутних функцій
сходиться в основному до неубутною функції F (x), якщо при вона сходиться до цієї останньої в кожній її точці безперервності.
Згодом ми завжди будемо вважати, що функції задовольняють добавочному умові
,
І не станемо далі цього обумовлювати.
Відзначимо відразу ж, що для збіжності в основному достатньо, щоб послідовність функцій сходилася до функції на якому-небудь усюди щільному безлічі D. Дійсно, нехай x - будь-яка точка і і - які-небудь дві точки безлічі D, такі, що. При цьому так само
Отже,
А так як за припущенням
і,
Але середні члени в цих нерівність не залежать від і, тому
Якщо функція в точці x неперервна, то
Отже, в точках безперервності функції
Перша теорема Хеллі. Всяка послідовність обмежених у сукупності неубутних функцій
(1)
містить принаймні одну послідовність
що сходяться в основному до деякої неубутною функції F (x).
Доказ. Нехай D - яке - небудь рахункове всюди щільне безліч точок. Візьмемо значення функцій послідовності (1) в точці
.
Так як безліч цих значень, за припущенням, обмежена, то воно містить щонайменше одну послідовність
(2)
cходящуюся до деякого граничного значення, яке ми позначимо через Розглянемо тепер безліч чисел
Так як і це безліч обмежена, то існує в ньому підпослідовність, що сходяться до деякого граничного значення Таким чином, з послідовності (2) ми можемо виділити підпослідовність
(3)
для якої одночасно і
.
Продовжимо таке виділення підпослідовностей
(4)
для яких одночасно мали б місце рівності
при всіх Складемо тепер діагональну послідовність
. (5)
Вся вона в кінцевому рахунку виділена з послідовності (1), тому для неї. Далі, так як вся діагональна послідовність, за винятком лише першого члена, виділена з послідовності (2), то. Взагалі вся діагональ за винятком перших її членів, виділена з послідовності (4); тому ...
