Введення
У теорії ймовірності широко використовуються методи і аналітичний апарат різних відділів математичного аналізу. Просто вирішення багатьох задач теорії ймовірностей, особливо тих з них, які пов'язані з підсумовуванням незалежних випадкових величин, вдається отримати за допомогою характеристичних функцій, теорія яких розвинена в аналізі і відома під назвою перетворень Фур'є. Курсова присвячена викладу основних властивостей характеристичних функцій.
1. Визначення та властивості
математичний Хеллі похідна функція
Характеристичною функцією випадкової величини називається математичне сподівання випадкової величини. Якщо є функція розподілу величини, то характеристична функція дорівнює:
(1)
З того що, при всіх речових, слід існування інтеграла (1) для всіх функцій розподілу; отже, характеристична функція може бути визначена для кожної випадкової величини.
Властивості:
Теорема1: Характеристична функція рівномірно неперервна на всій прямій і задовольняє таким умовам:
. (2)
Доказ. Співвідношення (2) негайно випливає з визначення характеристичної функції. Дійсно, по (1)
Нам залишається довести рівномірну неперервність функції. З цією метою розглянемо різницю
І оцінимо її по модулю. Маємо:
.
Нехай довільно виберемо настільки велике A, щоб
,
І підберемо настільки мале h, щоб для
.
Тоді
Ця нерівність доводить теорему.
Теорема 2. Якщо, де a і b - постійні, то
де і означає характеристичні функції величини
і.
Доказ. Дійсно,
.
Теорема 3. Характеристична функція суми двох незалежних випадкових величин дорівнює добутку їх характеристичних функцій.
Доказ. Нехай і-незалежні випадкові величини і.
Тоді очевидно, що разом з і незалежні так само випадкові величини і. Звідси випливає, що
.
Це доводить теорему.
Слідство. Якщо
Причому кожний доданок незалежно від суми попередніх, то характеристична функція величини дорівнює добутку характеристичних функцій доданків.
Відзначимо, що характеристичні функції задовольняють рівності
Дійсно,
Застосування характеристичних функцій в значній мірі спирається на властивість, сформульоване в теоремі 3. Додавання незалежних випадкових величин, призводить до дуже складної операції - композиції функцій розподілу доданків. Для характеристичних функцій ця ...
