tify"> Доведення.
Відмітімо, что функція такоже задовольняє умові Ліпшіця. Дійсно, нехай і - будь-які точки з области D. Тоді для будь-якого можна вказаті Такі числа и, что при будут Виконувати нерівності
Звідсі віпліває
Оскількі Довільне, то в границі отрімаємо
Позначімо тепер через I відрізок и оцінімо на цьом відрізку інтеграл
де
Для цього розділімо відрізок I на m рівніх частин точками
и покладемо
Припустиме, что для Деяк
Оскількі
то
Введемо позначення
Зрозуміло, что при шкірному фіксованому функція прямує до нуля при тому при фіксованіх маємо
Звідсі
Отже
Відмітімо, что відповіднім Вибори Достатньо великого m и Достатньо малого величина может буті Зроблено як завгодно малою.
Тепер будемо шукати розв'язок у вігляді
Тоді переходячі до відповідніх інтегральніх рівнянь, знаходимо рівняння для знаходження u (t).
Отже
тоб
На відрізку І маємо нерівність
Если x (t) на всьому відрізку І НЕ покідає области D, то ЯКЩО покласть
Отрімаємо Твердження теореми. Покажемо, что x (t) захи D на всьому відрізку І. Дійсно, оскількі початкова точка x (0) находится всередіні области, то на Деяк відрізку розв'язок буде знаходітісь в области.
Нехай
Тоді на всьому відрізку, на якому x (t) захи D будемо мати
Тепер, ЯКЩО Припустиме, что то на відрізку в силу неперервності розв'язків x (t) i? (t) знайдеться така точка T, в якій буде Виконувати нерівність
Однак з цієї рівності віпліває, что при t=T розв'язок x (t) НЕ покідає области D. Тому T Отже
отриманий протіріччя свідчіть про ті, что Теорема доведена.
Друга теорема про усереднення. Нехай функція Визначи в области и нехай в области:
1) неперервно по t, а по x задовольняє умови Ліпшіца
2) в Кожній точці рівномірно відносно t існує границя
І функція обмеже;
) розв'язок усередненої системи
Визначи для всіх и захи области з Деяк околом
) розв'язок рівномірно асимптотично стійкій.
Тоді для будь-якого можна вказаті таке что при при всех буде Виконувати нерівність
Доведення.
Аналогічно Попередній теоремі Можемо показати, что Нехай - рівномірно асимптотично стійкій розв «язок усередненої системи. В силу рівномірної стійкості для будь-яких можна вказаті (причому не залежиться від чинності рівномірної стійкос...
