робити оцінку істинного значення вимірюваної величини. Для вирішення цього завдання можна застосувати закони, встановлені теорією ймовірності по відношенню до багаторазового повторення випадкових явищ. У курсі теорії ймовірностей доводиться, що найкращою оцінкою істинного значення є середнє арифметичне з числа вимірів:
, (1)
т.е. можна записати, що.
Рис. 1. Зображення трьох серій вимірювань фізичної величини
Цей запис означає, що істинне значення вимірюваної величини а наближено, але найкращим чином оцінюється за середнім арифметичним значенням. Якщо повторити досвід, зробивши другу серію вимірювань, то, очевидно, вийде новий ряд значень (рис. 1б), причому отримані значення згрупуються близько істинного, але не повторять картину першої серії вимірювань.
Оскільки на результат вимірювань впливають тільки випадкові чинники, то ми не можемо стверджувати, що найкращою оцінкою а буде те ж, що і в першій серії вимірювань, значення:
Найімовірніше, з розрахунку вийде інше значення
,
яке, також як і, є найкращою оцінкою а, але в новій серії вимірювань. Нарешті, з результатів третьої серії n вимірювань (рис. 1в) найкращою наближеною оцінкою істинного значення а буде
Це значення, взагалі-то, не збігається з двома попередніми середніми значеннями вимірюваної величини. Таких серій равноточних незалежних один від одного вимірювань можна провести скільки завгодно. Що ж, зрештою послужить оцінкою величини а? Адже кожного разу ми будемо отримувати середнє значення, що лежить десь недалеко від а. Як видно з рис. 1, наближені оцінки завжди більш-менш відрізняються один від одного, тобто відчувають випадкове розсіювання, незважаючи на гадану незмінність умов в окремих дослідах.
Таким чином, можна зробити дуже важливий висновок про те, що результат вимірювання є випадковою величиною. Результат кожного окремого вимірювання або результат розрахунку оцінки істинного значення неможливо заздалегідь передбачити, однак, це ще не означає, що повторні вимірювання не виявляють ніякої закономірності. Закономірність у розподілі вимірювань існує і досить добре вивчена. Вона описується законом нормального розподілу Гауса [1].
Результати серії вимірювань однієї величини можна наочно уявити, побудувавши діаграму, яка показала б, як часто виходили ті чи інші результати. Така діаграма називається гістограмою. Як приклад розглянемо побудову гістограми за даними вимірювань величини прискорення сили тяжіння методом математичного маятника. У табл. 1 наведені середні значення шуканої величини g (з точністю до сотих, всього 112 значень). Результати вимірювань розподілені по групах в інтервалі.
Таблиця 1
Значення g (м/с 2) при розбитті по группамЧісло вимірювань в кожному інтервалеОтносітельная частка числа вимірів 9,20-9,2910,099,30-9,3930,0279,40-9,4940,0359,50-9,59100,0899,60-9,69160,1439,70-9,79210,1889,80-9,89220,1969,90-9,99170,15210,00-10,09100,08910,10-10,1950,04510,20-10,2920,01810,30-10,3910,009Всего 112 значень
Рис. 2. Гістограма даних, наведених у таблиці
На рис. 2 чітко відображена тенденція большінстваізмереній групуватися поблизу деякого значеніяізмеряемой величини, яке і можна прийняти за найкращу оцінку істинного значення.
Тепер уявімо собі, що число вимірювань необмежено зросло і стало дуже великим. Ширину інтервалів можна зробити дуже малою, але щоб у кожному інтервалі було б багато відліків. Якщо тепер замість гістограми побудувати графік, який давав би відносну частку повного числа вимірів, то вийде гладка крива, звана кривою розподілу.
У розглянутому прикладі ми мали справу з послідовністю випадкових подій, які виявляють при необмеженому збільшенні їх числа характерну статистичну стійкість. Узагальнюючи сказане, введемо поняття випадкової величини Х, як змінної величини, що приймає різні значення, залежать від випадкових факторів. На графіку по осі абсцис будемо відкладати значення Х1, Х2, ... Хn, отримані в результаті n вимірювань фізичної величини, а по осі ординат - частоту появи отриманих значень в заданому інтервалі, що припадає на одиницю цього інтервалу. Тоді в межі при і отримаємо плавну криву розподілу для функції.
Функція P (X) називається щільністю ймовірності розподілу. Сенс введеної функції P (X) полягає в тому, що P (X) .dX представляє відносну частку повного числа вимірів n, що припадає на інтервал (X, X + dX). Іншими словами, P (X) .dX є ймовірність того, що окреме значення вимірюваної величини знаходиться в межах інтервалу (X, X + dX).
На рис. 3 зображена типова крива розподілу результатів вимірювання фізичної величини, причому P (X) .dX площею фігури, заштрихованої похилими лініями.
Рис. 3. Типова крива розпод...
