ня вихідних і згладжених даних (крок збільшений в 4 рази)
У результаті робимо висновок про те, що при зменшенні кроку, отримуємо більш точний результат.
2.6 Чисельне диференціювання вихідних і згладжених даних за допомогою другої формули гауса і формули Бесселя
Формула Бесселя має вигляд:
Формула Гаусса має вигляд:
Виконаємо перетворення формули з урахуванням, що
Тоді формули Бесселя і Гауса приймуть вигляд для вихідних даних:
Таблиця 2 - Перша і друга похідні за методом Бесселя і Гауса
B1B2Ga1Ga2-64.3331.024e3-69.4441.027e3-59.507909.633-64.668892.867-55.205814.033-60.515778.467-51.335737.233-56.884684.067-47.802679.233-53.674609.667-44.511640.033-50.787555.267-41.37619.633-48.122520.867-38.284618.033-45.578506.467-35.158635.233-43.057512.067-31.9671.233-40.458537.667-28.415726.033-37.68583.267-24.608799.633-34.625648.867-20.387892.033-31.192734.467-15.6571.003e3-27.28840.067-10.3231.133e3-22.791965.667-4.2931.282e3-17.6241.111e32.5281.45e3-11.6781.277e310.2351.636e3-4.8551.462e318.921.841e32.9461.668e328.6782.065e311.8261.894e339.6042.308e321.8832.139e351.792.57e333.2182.405e3
Порівняємо результати отримані методами Гауса і Бесселя.
Рисунок 9 - Порівняння результатів першої похідної за формулою Бесселя і Гауса
Порівняємо результати отримані методами Гауса і Бесселя.
Малюнок 10 - Порівняння результатів другої похідної за формулою Бесселя і Гауса
Отримані результати мають достатньо великий розбіг й сильно відрізняються за значенням, що свідчить про погану обумовленості завдання.
Під обумовленістю обчислювальної задачі розуміють чутливість її вирішення до малих змін похибок вихідних даних. Задачу називають добре обумовленої, якщо малим погрішностей вихідних даних відповідають малі похибки рішення, і погано обумовленою, якщо можливі суттєві зміни рішення. Мірою ступеня обумовленості обчислювальної задачі є число обумовленості. Цю величину можна інтерпретувати як коефіцієнт можливого зростання похибок у вирішенні по відношенню до викликав їх погрішностей вхідних даних.
Обчислимо коефіцієнти обумовленості, засновані на другій формулі Гаусса:
лінійний згладжування гаус Бессель
Так як 6000 набагато більше одиниці, то завдання погано обумовлена, тобто малим погрішностей вихідних даних відповідають істотні зміни в рішенні.
Обчислимо коефіцієнти обумовленості, засновані на формулі Бесселя:
Так як 10000 набагато більше одиниці, то завдання погано обумовлена, тобто малим погрішностей вихідних даних відповідають істотні зміни в рішенні.
Обчислимо оптимальне значення кроку диференціювання.
Оцінка максимальної похибки інтерполяції вихідної функції на всьому відрізку диференціювання [a, b] для чотирьох вузлів інтерполяції (n=3) задовольняє умові:
, де
Повна похибка являє собою суму обчислювальної похибки і похибки інтерполяції на інтервалі диференціювання і не перевершує величини:
Мінімізація по h функції? 1 (h) призводить до наступної формули для обчислення оптимального значення кроку диференціювання:
З отриманих значень можна зробити висновок, що оптимальне значення кроку диференціювання набагато перевищує значення кроку в нашій функції. Отже, щоб задача стала добре обумовленої, слід взяти крок h=0.275.
ВИСНОВОК
У ході даної лабораторної роботи були проведені процедури згладжування - лінійного за трьома і п'яти точках та нелінійного по семи точкам, а також згладжування з використанням функцій MEDSMOOTH і SUPSMOOTH. Порівнюючи отримані результати, можна зробити висновок, що згладжування за трьома і п'яти точках, а також функція SUPSMOOTH дають самі гладкі графіки, у той час як нелінійне згладжування по семи точкам, і функція MEDSMOOTH дають більш наближені до оригінальних значення.
В результаті виконання чисельного диференціювання для даних, з використанням формул чисельного диференціювання, заснованих на другій формулі Гаусса і на формулі Бесселя. Були обчислені коефіцієнти обумовленості (6000 для формули Гауса і 10000 для формули Бесселя), порівнявши отримані значення, був зроблений висновок про те, що завдання погано обумовлена ??для обох методів чисельного диференціювання.
Також було визначено оптимальне значення кроку чисельного диференціювання для досягнення заданого значення точності рішення:. Порівнявши отримане значення оптимального кроку із заданим кроком аргументу (h=0.005) в табличному поданні ф...
