Федеральне державне освітній бюджетне
установа вищої професійної освіти
«Фінансовий університет при Уряді Російської Федерації»
Кафедра «Прикладна математика»
Дисципліна «Диференціальні рівняння»
Домашнє творче завдання
На тему «Функції Бесселя»
Виконала:
Студенка гр. ПМ2-1
Голубєва В.І.
Перевірив:
Свірщевскій Сергій Ростиславович
Москва - 2 014
Зміст
Введення
. Рівняння Лапласа в циліндричних координатах
. Беселевих функції першого роду
. Загальне рішення рівняння Бесселя
. Функції Бесселя напівцілого порядку
. Деякі диференціальні рівняння, що приводяться до рівняння Бесселя
. Застосування
Висновок
Список використаної літератури
Введення
Німецький астроном і математик Фрідріх Вільгельм Бессель (1784-1846) народився в невеликому місті Мінден на північному заході Німеччини в родині дрібного чиновника. Свій життєвий шлях Бессель почав торговим службовцем. В юності був астрономом-аматором. Серйозно займався самоосвітою. У 1804 самостійно обчислив орбіту комети Галлея, чим заслужив похвалу Г.В. Ольберса. У 1806 став асистентом приватної обсерваторії І.І. Шретера в Лілієнталь. У 1810 був запрошений в Кенігсберг для організації нової обсерваторії, директором якої пропрацював до останніх років свого життя. Бессель є одним з основоположників астрометрії Розробив теорію помилок інструменту і послідовно проводив у життя ідею про необхідність вносити відповідні поправки в результати спостережень. При обробці результатів спостережень широко застосовував різні математичні методи, зокрема використовував результати теорії ймовірностей і метод найменших квадратів. На честь німецького математика і астронома було названо диференціальне рівняння, Бессель докладно дослідив його і показав (в 1824 році), що рішення рівняння виражаються через спеціальний клас функцій, що одержали назву циліндричних функцій або функцій Бесселя.
Функції Бесселя в математиці - сімейство функцій, що є канонічними рішеннями диференціального рівняння Бесселя:
х2 у + Ху '+ (х2 -? 2) у=0
де?- Довільне дійсне число, зване порядком.
Найбільш часто використовувані функції Бесселя - функції цілих порядків.
Хоча? і (-?) породжують однакові рівняння, зазвичай домовляються про те, щоб їм відповідали різні функції (це робиться, наприклад, для того, щоб функція Бесселя була гладкою по?). Функції Бесселя вперше були визначені швейцарським математиком Данилом Бернуллі, а названі на честь Фрідріха Бесселя.
1.
1. Рівняння Лапласа в циліндричних координатах
Щоб пояснити походження Беселевих функцій, розглянемо рівняння Лапласа в просторі:
. (1)
Якщо перейти до циліндричних координат за формулами:
,,,
то рівняння (1) прийме наступний вигляд:
. (2)
Поставимо задачу: знайти всі такі рішення рівняння, які можуть бути представлені у вигляді добутку трьох функцій, кожна з яких залежить тільки від одного аргументу, тобто знайти всі рішення виду:
,
де,, передбачаються двічі безперервно диференційовними.
Нехай є рішення згаданого виду. Підставляючи його в (2), отримаємо:
,
звідки (після ділення на)
.
Записавши це у вигляді:
,
знайдемо, що ліва частина не залежить від, права не залежить від,; отже, загальна величина цих виражень є деяка постійна. Звідси:
; ;
; ;
.
У останній рівності ліва частина не залежить від, права не залежить від; отже, загальна величина цих виражень є деяка постійна. Звідси:
,;
,.
Таким чином,,, повинні задовольняти лінійним диференціальним рівнянням другого порядку:
, (3)
,,
з яких друге й третє є найпростіші лінійні рівняння з постійними коефіцієнтами, а перше є лінійним рівнянням зі змінними коефіцієнтами нового виду.
Назад, якщо,, задовольняють рівнянням (3), тобто рішення рівняння (2). Справді, підставляючи в ліву частину (2) і ділячи потім на, одержимо:
...
