Так як - комплексно-поєднане для, то маємо:
Підставами знайдені значення у формули (1.5) і (1.6)
(множення комплексної величини на пов'язану їй дає одиницю)
З формули (1.7) знайдемо нормирующий множник:
3) Отримуємо нашу передавальну функцію аналогового фільтра-прототипу:
(1.9)
2.1 Розрахунок цифрового фільтра 1 спосіб
- ий етап - денормирование частоти в аналоговій області. В результаті отримуємо передавальну функцію H (p) аналогового фільтра, частоти зрізу якого відповідають заданим. Операція денормірованія відповідає відображенню комплексної S-площині в комплексну P-площину. При цьому використовується наступна заміна аргументу:
При підстановці у вираз (1.1) отримуємо формулу:
,
де згідно Таблиці 3 «Методики»:
; ;
;
рад/с;
;
Підставимо чисельні значення у вирази передавальної функції H (p) аналогового фільтра:
-ої етап - дискретизація - в результаті виконання якого отримують передавальну функцію ЦФ H (z). Операція дискретизації відповідає відображенню комплексної P площини в комплексну Z-площину. При цьому уявна вісь P-площині повинна відображатися в одиничну окружність Z-площині, а ліва полуплоскость P-площині - у внутрішню частину кола одиничного радіуса Z-площині. Виконання цих вимог гарантує збереження селективних властивостей і стійкості фільтра при дискретизації.
.
Найбільш часто при дискретизації використовують білінійної перетворення, в цьому випадку:
де - частота дискретизації.
білінійної перетворення передавальної функції аналогового фільтра в цій формі
призводить до передавальної функції дискретного фільтра наступного виду:
Розрахунок коефіцієнтів за цією формулою йде відповідно до таблицею 5 «Методики»:
;
;
;
;
;
;
2.2 Розрахунок цифрового фільтра 2 спосіб
Можливо також об'єднання етапів денормірованія і дискретизації:
.
При цьому виходить двоетапна процедура синтезу. Якщо для дискретизації використовується білінійної перетворення, то процедура називається узагальненим білінійної перетворення.
Формули узагальненого білінійної перетворення наведені в таблиці 7 і таблиці 8 «Методики».
Таблиця 2.1 (таблиця 7 «Методики»)
Тип цифрового фільтраФормула заміни оператора ФВЧ, де Примітка: і - параметри перетворення, що визначаються нормованими граничними частотами смуг пропускання ЦФ:
Таблиця 2 (таблиця 8 «Методики»)
Тип фільтраПередаточние функції блоків і Вирази для коефіцієнтів цифрового фільтраФВЧ непарні.
; ;
,
де чётн.
; ;
;
;
;
;
,
де
Знайдемо чисельні значення параметра перетворення і коефіцієнти блоків передавальної функції:
, (2.22),
де - нормована частота зрізу.
Отже,
;
Порівняємо значення коефіцієнтів, отримані при розрахунку першим і другим способом (таблиця 4).
Таблиця 2. Результати обчислень а, b.
1 способ2 спосіб 0,5600,5 - 0,560-0,5 - 0,1200 0,4170,333 - 0,834-0,666 0,4170,333 - 0,3200 0,3460,333
Розбіжності в обчисленнях можна пояснити тим, що при білінійної перетворення відбувається деформація частотної шкали, описувана виразом
(де - «аналогова», а - «цифрова» частота). Ця деформація повинна враховуватися на етапі синтезу ФНЧ-прототипа при завданні частоти.
Для перевірки точності наших обчислень отримаємо коефіцієнти передавальної функції цифрового фільтра Баттерворта верхніх частот третього порядку за допомогою системи MatLab.
Напишемо програму:
gt; gt; Fd=18000;
fp=4500;
fs=4000;
Wn=2 * (fp/Fd);
gt; gt; [b, a]=butter (3, Wn, high )
Wn=0.5000
Результат:
b=0.1667 - 0.5000 0.5000 - 0.1667
a=1.0000 - 0.0000 0.3333 - 0.0000
Констатуємо факт, що обчислення другим способом (при суміщенні етапів денормірованія і дискретизації), призвели до більш точним обчисленням.
Підставляємо отримані значення у вираз передавальної функці...
