зницеве ??рівняння, яким описується дана система. Розглянемо на прикладі передавальної функції II порядку
Застосовуючи основну властивість пропорції і підставляючи заміни:
,,,, отримуємо
(3.4)
Для розрахунку перехідних процесів рівняння (4.4) записують у вигляді
(3.5)
Визначимо дискретну передавальну функцію нашої розімкнутої системи (передбачається наявність екстраполятор нульового порядку):
(3.6)
Використовуючи підстановку, отримаємо
Тоді
(3.7)
Знайдемо.
(3.8)
За методом Остроградського знаходимо коефіцієнти А, В і С:
Повертаючись до вираження (4.8), отримуємо:
.
Скориставшись таблицею Z-перетворень, отримаємо
(3.9)
Повертаючись до вираження (4.7) і враховуючи, що період дискретизації Т=0.17 с, отримуємо дискретну передавальну функцію нашої розімкнутої системи:
(3.10)
4. КРИТИЧНИЙ (граничних) КОЕФІЦІЄНТ ПОСИЛЕННЯ замкнутого ЦСУ зі стандартними П-РЕГУЛЯТОРОМ
Виконаємо цей пункт за допомогою критерію Гурвіца: корені полінома, де аi gt; 0 лежать в лівій півплощині тоді і тільки тоді, коли позитивні всі головні мінори матриці розмірності n * n:
. (4.1)
При складанні матриці Гурвіца перший рядок заповнюється коефіцієнтами характеристичного полінома з непарними індексами, друга - з парними. Далі пари рядків виходять зміщенням вправо першої пари на один, два і т.д. стовпців. Всі коефіцієнти з індексами, великими ступеня полінома, замінюються нулями.
З (4.1) виходять визначники Гурвіца (головні мінори матриці):
.
Зазначені критерії безпосередньо можна використовувати для дослідження стійкості безперервних систем з характеристичними поліномами. Для дискретних (цифрових) систем ці критерії незастосовні, оскільки на отріцательность речових частин коренів необхідно досліджувати многочлени виду
A * (esT)=a0 esnT + a1es (n - 1) T + ... + an - 1esT + аn. (4.2)
Многочлен (4.2) з використанням відомого позначення z=е-sT можна записати у вигляді полінома
, (4.3)
але коріння якого матимуть значення | z |=| е-snT |? 1. Щоб коріння | z |? 1 перевести в коріння з негативними речовими частинами, як того вимагають зазначені критерії, до характеристическому рівнянню застосовують білінійної перетворення
. (4.4)
Перейдемо від розімкнутої функції
до замкнутої, яка знаходиться за формулою:
(4.5)
Щоб отримати вираз замкнутої ЦСУ П-регулятора, треба домножити у виразі (4.5) на коефіцієнт посилення Кр члени:
(4.6)
(4.7)
З останнього виразу випливає, що коефіцієнт посилення чисельника Кр=0, тоді знайдемо Кр знаменника за критерієм Гурвіца (з умови, що всі визначники матриці більше нуля):
(4.8)
Замінивши у формулі (4.8) z за формулою (4.4), приходимо до наступного виразу:
(4.9)
Після перетворень рівняння (4.9), отримаємо:
. (4.10)
Отже,,,, де,,; і матриця Гурвіца має вигляд
.
Відповідно до критерію Гурвіца, умови стійкості будуть:
) gt; 0,
), (4.11)
) gt; 0.
З (4.11) виходять, визначаємо А0, А1, А2:
; ;
Тоді:
.
За умовою критичний (граничний) коефіцієнт посилення повинен бути більше нуля, звідси отримуємо область значень Кр:.
5. РОЗРАХУНОК ПЕРЕХІДНИХ ПРОЦЕСІВ замкнутого ЦСУ З П-РЕГУЛЯТОРОМ
Один із способів поліпшення якості перехідного процесу синтезованої ЦСУ полягає в застосуванні спеціальних цифрових алгоритмів управління - П, ПІ або ПІД-регуляторів, безперервні аналоги яких широко використовувалися в системах автоматичного управління.
Для синтезу нашої ЦСУ застосуємо дискретний П-регулятор, передавальна функція якого в Z-формі має вигляд:
, (5.1)
де Кр - коефіцієнт регулювання, обираний з умови одержання перехідного процесу необхідної якості.
Структурна схема нашої замкнутої цифрової системи управління з П-регулятором буде мати вигляд:
Рис. 3
Тоді передатна функція цієї системи з урахуванням виразу (3.11) запишеться як:
(5.2)
Для розрахунку перехідного процесу перейдемо до опису за допомогою різницевих рівнянь. Домножимо чисельник і знаменник на і виробляючи заміну
