видами:
. Алгебраїчні фрактали
. Геометричні фрактали
. Стохастичні фрактали
Алгебраїчні фрактали
Алгебраїчні фрактали - це найбільша група фракталів, що отримала назву за використання алгебраїчних формул. Методів
отримання алгебраїчних фракталів декілька. Один з методів являє собою багаторазовий (ітераційний) розрахунок функції Zn + 1=f (Zn), де Z - комплексне число, а f якась функція. Розрахунок даної функції триває до виконання певної умови. І коли ця умова виконається - на екран виводиться крапка. При цьому функція для різних точок комплексної площині може мати різну поведінку: з плином часу вона може прагнути до нескінченності; прагнути до 0; приймати декілька фіксованих значень і не виходити за їх межі. Поведінка хаотично, без будь-яких тенденцій. Таким чином було отримано безліч Мандельброта - фрактал, певний, як безліч точок С на комплексній площині. Бенуа Мандельброт запропонував модель фрактала, яка стала класичною і часто використовується для демонстрації, як типового прикладу самого фрактала, так і для демонстрації краси фракталів, яка також привертає дослідників, митців, просто зацікавлених людей.
Рис.1. Приклад алгебраїчного фрактала.
Геометричні фрактали
Фрактали цього класу самі наочні, тому що в них відразу видно самоподобна. У двомірному випадку такі фрактали можна отримати, задавши деяку ламану, звану генератором. За один крок алгоритму кожен з відрізків, складових ламану, замінюється на ламану-генератор. У результаті нескінченного повторення цієї процедури (а, точніше, при перехід до межі) виходить фрактальна крива. При видимій складності отриманої кривої, її загальний вигляд задається тільки формою генератора. Прикладами таких кривих служать: крива Коха (сніжинка Коха), крива Леві, крива Маньківського, крива Пеано.
Рис.2. Приклад геометричного фрактала.
Стохастичні фрактали
Типовий представник даного класу фракталів Плазма raquo ;. Для її побудови візьмемо прямокутник і для кожного його кута визначимо колір. Далі знаходимо центральну точку прямокутника і розфарбовуємо її в колір рівний середньому арифметичному квітів по кутах прямокутника плюс деякий випадкове число. Чим більше випадкове число - тим більше рваним буде малюнок. Якщо ми тепер скажемо, що колір точки це висота над рівнем моря - отримаємо замість плазми - гірський масив. Саме на цьому принципі моделюються гори в більшості програм.
1.3 Види фракталів
Розглянемо кілька поширених видів фракталів.
Решітка Серпінського.
Це один з фракталів, з якими експериментував Мандельброт, коли розробляв концепції фрактальних розмірностей і ітерацій. Трикутники, сформовані з'єднанням середніх точок більшого трикутника вирізані з головного трикутника, утворюючи трикутник, з великою кількістю дірочок. У цьому випадку ініціатор - великий трикутник а шаблон - операція вирізання трикутників, подібних більшого. Так само можна отримати і тривимірну версію трикутника, використовуючи звичайний тетраедр і вирізаючи маленькі тетраедри. Розмірність такого фрактала ln3/ln2=1.584962501.
Рис.3. Решітка Серпінського.
Трикутник Серпінського.
Чи не переплутайте цей фрактал з гратами Серпінського. Це два абсолютно різних об'єкта. У цьому фрактале, ініціатор та генератор однакові. При кожній ітерації, додається зменшена копія ініціатора до кожного кутку генератора і так далі. Якщо при створенні цього фрактала призвести нескінченне число ітерацій, він би зайняв всю площину, не залишивши жодної дірочки. Тому його фрактальна розмірність ln9/ln3=2.0.
Рис.4. Трикутник Серпінського.
Крива Коха.
Крива Коха один з найтиповіших детермінованих фракталів. Вона була винайдена в 1904 році шведським математиком на ім'я Хельге фон Кох, який, вивчаючи роботи Георга Контора і Карл Веєрштрас, натрапив на описи деяких дивних кривих з незвичайною поведінкою. Ініціатор - пряма лінія. Генератор - рівносторонній трикутник, сторони якого рівні третини довжини більшого відрізка. Ці трикутники додаються до середини кожного сегмента знову і знову. У своєму дослідженні, Мандельброт багато експериментував з кривими Коха, і отримав фігури такі як Острови Коха, Хрести Коха, Сніжинки Коха і навіть тривимірні уявлення кривої Коха, використовуючи тетраедр і додаючи менші за розмірами тетраедри до кожної його грані. Крива Коха має розмірність ln4/ln3=1.261859507.
...
