теми є розв язком неоднорідної системи.
Нехай - частковий розвязок неоднорідної системи, а - довільній ее розвязок, тоді - довільній розвязок зведеної однорідної системи. Отже
де - фундаментальна система розвязків зведеної однорідної системи. Тоді - загальний розвязок неоднорідної системи.
Приклади розв язання типових задач
Приклад 1. Розв язати систему лінійніх рівнянь
1) методом Гауса;
) методом Жордана-Гауса.
розвязання
1) Метод Гауса.
Запішемо систему лінійніх рівнянь, что відповідає Останній матріці
З цієї системи знаходимо:
Отже, отримай розвязок системи лінійніх рівнянь:
Відповідь.
2) Метод Жордана-Гауса.
отримай розв язок системи лінійніх рівнянь:
Відповідь.
Приклад 2. Знайте ранг матріці
де - параметр.
розвязання
За помощью Елементарна перетвореності зведемо матрицю до ступінчастого вигляд:
Если, то в матріці
буде три ненульовіх рядки, при всех других значення - Чотири. Отже, ЯКЩО, то ранг матріці дорівнює; ЯКЩО, то ранг матріці дорівнює.
Приклад 3. Знайте ранг і максимальну лінійно незалежну підсістему системи векторів ЯКЩО
,
,
,
.
Розв язання
Розглянемо матрицю
,
векторами-рядками Якої є Вектори даної системи. За помощью Елементарна перетвореності зведемо матрицю до ступінчастого вигляд:
Ранг матріці дорівнює, а отже и ранг системи векторів дорівнює. Перший, другий І чверті Вектори системи утворюють максимальну лінійно незалежну підсістему (а Третій вектор є лінійною комбінацією ціх векторів).
Приклад 4. Дослідіті на сумісність та візначеність систему лінійніх рівнянь
тоб зясувати, при якіх значеннях система несумісна, а при якіх - Сумісна, зокрема - Визначи чі невизначе.
Розв язання
Запішемо Розширення матрицю даної системи й зведемо ее до ступінчастого вигляд:
(Перший І чверті рядок помінялі місцямі.)
.
(Перший рядок помножили на і додали до шкірного Наступний, потім перший І чверті стовпці помінялі місцямі.) Отже, ми одночасно основної матриці системи звелено до ступінчастого вигляд:
,
а ее Розширення матриці - до ступінчастого вигляд:
.
Если то
;
.
Оскількі при ранг ОСНОВНОЇ матріці системи дорівнює, а ранг ее розшіреної матріці дорівнює, то при система рівнянь несумісна.
Если то
,.
Ранг матріці дорівнює І ранг матріці такоже дорівнює. У цьом випадка ранг ОСНОВНОЇ матріці системи дорівнює рангу ее озшіреної матріці и ВІН менший від числа невідоміх, тому система рівнянь Сумісна, невизначе.
Если відмінне Від і, то ранг матріці дорівнює І ранг матріці такоже дорівнює. Отже, ранг ОСНОВНОЇ матріці системи рівнянь дорівнює рангу ее розшіреної матріці и дорівнює числу невідоміх. У цьом випадка ...
