зьких слів re Вў ele - дійсний і imaginaire - уявний). Числа a + bi, для яких b В№ 0, називають уявними числами, а числа виду bi, b В№ 0, - чисто уявними числами.
Безліч комплексних чисел позначається С.
Два комплексних числа z 1 = a + bi і z 2 = з + di вважаються рівними один одному в тому і тільки в тому випадку, якщо а = с і b = d. У Зокрема, число a + bi буде вважати рівними нулю, якщо a = 0 і b = 0.
Запис z = a + bi називається алгебраїчній формою комплексного числа.
Дії над комплексними числами:
1 Додавання: (A + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d) i
Наприклад, (2 +3 i) + (5-7i) = (2 +5) + (3-7) i = 7-4i. p> 2 Множення: (a + bi) * (c + di) = (ac-bd) + (ad + bc) i, причому потрібно пам'ятати, що i 2 = -1. Цю формулу можна отримати, множачи
(a + bi) на (c + di) за правилам дій над многочленами.
Наприклад, (1 +2 i) (3-i) = 3 * 1-1 * i +6 i-2i 2 = 3 +2- i +6 i = 5 +5 i. p> Розглянемо ступеня числа i:
i 1 = i; i 2 = -1; i 3 = i 2 * i = -1 * i =-i; i 4 = I 2 * i 2 = (-1) (-1) = 1; i 5 = i 3 * i 2 =-i (-1) = i; i 6 == i 5 * i = i * i = -1 = i 2 ; ...
взагалі, i 4n + r = (i 4 ) n * i r = (1) n * i r = I r . p> Отримуємо, i 4m = 1; i 4m +1 = i; i 4m +2 = -1; i 4m +3 =-i.
Наприклад, i 218 = i 4 * 54 +2 = i 2 = -1.
3 Віднімання: (A + bi) - (c + di) = (a-c) + (b-d) i
Наприклад, (5 +4 i) - (2-3i) = (5-2) + (4 +3) i = 3 +7 i. p> Опр: Два комплексних числа називаються сполученими, якщо вони відрізняються лише знаком уявної частини.
Якщо z = a + bi, то поєднане число має вигляд z = a-bi. Зауважимо, що z + z = (a + bi) + (a-bi) = 2a; z * z = (a + bi) (a-bi) = a 2 + b 2 . Отже, сума і добуток двох сполучених комплексних чисел є дійсними числами.
4 Ділення: на практиці при діленні комплексних чисел зручно домножити чисельник і знаменник дробу на вираз, поєднане знаменника:
a + bi = (a + bi) (c-di) = (ac + bd) + (bc-ad) i = Ac + bd + bc-ad i
c + di (C-di) (c-di) c 2 + d 2 c 2 + d 2 c 2 + d 2
Наприклад, 10 +15 i = (10 +15 i) (1-2i) _ 10-20i +15 i +30 = 40-5i = 8-i
1 +2 i (1 +2 i) (1-2i) 1 + 5 квітня
Геометрична інтерпретація комплексних чисел.
Як відомо, дійсні числа можна зображати точками на координатній прямій. А комплексне число природно виражати точкою на координатній площині. p> Кожному комплексному числу a + bi поставимо відповідно точку M (a; b) координатної площині, тобто точку, абсциса якої дорівнює дійсній частині комплексного числа, а ордината - уявної частини. Кожній точці M (a; b) координатної площині поставимо у відповідність комплексне число a + bi (рис.1).
В
Очевидно, що отримується при цьому відповідність є взаємно однозначним. Сама координатна площина називається комплексної площиною. Дійсним числах відповідають точки осі абсцис, яка називається дійсною віссю, а чисто уявним числах - точки осі ординат, яка називається уявною віссю.
Чи не менш важливою та зручною є інтерпретація комплексного числа a + bi як радіус-вектора ОМ (див. рис.1), тобто вектора, що виходить з початку координат Про (О, о) і йде в точку М (а; b). Зрозуміло, замість радіус-вектора ОМ можна взяти будь рівний йому вектор. p> Зображення комплексних чисел за допомогою векторів зручно тим, що при цьому отримують просте геометричне тлумачення операцій над ними. При додаванні чисел z 1 = a 1 + b 1 i і z 2 = a 2 + b 2 i складаються їхні дійсні та уявні частини. При додаванні відповідних їм векторів ОМ 1 і ОМ 2 складаються їх координати. Іншими словами, якщо числу z 1 відповідає вектор ОМ 1 , а числу z 1 -вектор ОМ 2 , те числу z 1 + z 2 відповідає вектор ОМ 1 + ОМ 2 , а числа z 1 -z 2 - вектор ОМ 1 - ОМ 2 .
Перейдемо до розгляду поняття модуля комплексного числа. Опр: Модулем комплексного числа називається довжина вектора відповідного цьому числу.
Для модуля числа z використовується позначення/Z/або r. За теоремою Піфагора (див. рис.1) для модуля комплексного числа z = a + bi легко виходить наступна важлива формула:/Z/= Г– a 2 + b 2 <...
