араболоїда проходить рівно по одній що утворює кожного сімейства, так як визначається однозначно.
Зауважимо, що ніяка вертикальна пряма не може бути прямолінійною твірною. Дійсно, в цьому випадку x = const, звідки і z = const. p> Два сімейства не перетинаються. Дійсно, припустимо, що загальна пряма має направляючий вектор
Тоді він повинен задовольняти однорідної частини рівнянь обох систем:
В
звідки? =? = 0 і пряма вертикальна, що неможливо. p> Утворюють одного сімейства не можуть перетинатися, оскільки це суперечило б єдиності. Вони не можуть бути паралельні, так як їх направляючі вектори - (,, k) з різними k. Значить, вони схрещуються, причому (за визначенням) паралельні фіксованій площині. p> Нехай тепер l1 і l2 - утворюють з різних родин. Покажемо, що вони перетинаються. Розглянемо плоске перетин параболоїда, що проходить через l1 і Р l2Р Вў l1. Це крива, порядку не вище двох, значить складається з двох прямих l2 і l. Припустимо l? l2 причому вони перетинаються (у точці Р). Значить, l не належить другого сімейства, тобто належить першому. Але тоді вона повинна схрещуватися з l1 і не може лежати з нею в одній площині. Значить, l = l2. Припустимо, l1? l2. Тоді координати (?,?,?) Задовольняють рівнянням:
В
звідки? =? = 0 і утворює вертикальна, що неможливо. p> Повернемося до Гіперболоїд. Їх асимптотичний конус визначається рівнянням:
В
З рівняння однополостного гіперболоїда маємо для позитивних z:
В
а з рівняння (21) -
В
звідки:
В
Аналогічно для двуполостного.
Пропозиція 11. Асимптотичні напрями (?,?,?) Однополостного гіперболоїда збігаються з напрямками утворюють його асимптотичного конуса і є рішеннями (21). p> Доказ. За визначенням асимптотичних напрямків. p> Теорема 12. Ніякі три різних прямолінійних створюючих однополостного гіперболоїда з одного сімейства не паралельні одній площині. Будь-які три попарно перехресні прямі, що не паралельні одній площині, є прямолінійними створюючими деякого однополостного гіперболоїда. p> Доказ. Розглянемо три прямолінійних створюючих з одного сімейства. Припустимо, вони паралельні одній площині. Так як центральне плоске перетин (асимптотичного) конуса складається з двох пересічних одній прямій, то дві з трьох прямих повинні бути паралельні. Протиріччя. p> Розглянемо три попарно перехресні прямі і деяку аффинную систему координат, в якій вони мають вигляд:
В
Наступна квадріка містить всі ці прямі:
(x-x1) (y-y3) (z-z2) - (x-x2) (y-y1) (z-z3) = 0
Це дійсно квадріка, так як коефіцієнт при х3 дорівнює нулю, а, скажімо, при ху дорівнює-z2 + z3? 0 так як прямі схрещуються. З класифікації квадрік і доведених властивостей випливає, що це - однопорожнинний гіперболоїд (у циліндрів таких утворюють не може бути, це ми доведемо в наступному реченні 14)
Розглянемо тепер не розпадаються ци...
