span> < span align = "justify"> 2 -1 = 0
де 0 <а 11 <а 22 . Тоді рівняння конічної поверхні над ним:
Ф (x, y, z) = z2F (,) = 0
Дійсно, точка (x, y, z), z? 0, належить поверхні тоді і тільки тоді, коли точка ((x/z) * h, (y/z) h, h) належить кривій, тобто:
(,) = 0.
Але при зробленому припущенні z? 0 дане рівняння рівносильне виведеному. Залишилось довести, що при z = 0 виведене рівняння визначено і його безліч рішень збігається з О. Визначеність випливає з того, що в другому множники ступінь (1/z) дорівнює 2 і при множенні пропадає. p> Після множення рівняння перетворюється (при z = 0) у h2q (x, y) = 0. Оскільки асимптотичних напрямків? еліпса немає, то x = y = 0.
Отже,
В
Після заміни x '= x - x0, y' = y - y0, z '= z отримуємо
Ф (x ', y', z ') = a11h2 (x') 2 + a22h2 (y ') 2 - (z') 2 = 0
Тобто конус.
В
(Зображений на малюнку 7 а.). p> Теорема 7. Еліптичний параболоїд не має прямолінійних створюючих. p> Доказ. Дослівно як з двуполостного гіперболоїдом. br/>В
(зображений на малюнку 7 б.).
Визначення 8. Ненульовий вектор (?,?,?) Задає асимптотичні напрямок для поверхні F = 0, якщо він обнуляє квадратичну форму рівняння:
q (?,?,?) = a11? 2 + a22? 2 + a33? 2 +2 a12?? +2 a13?? +2? 23?? = 0
В
Асимптотичні напрями не залежать від вибору системи координат.
Теорема 9. прямолінійні утворюючі будь-якій поверхні мають асимптотичну напрямок.
Доказ. Нехай
В
-прямолінійна твірна. Підставивши в рівняння F = 0, отримаємо
F2t2 +2 F1t + F0 = 0 для будь-якого t. Значить, F2 = q (?,?,?) = 0
Теорема 10. Гіперболічний параболоїд має два сімейства утворюють, що проходять через кожну точку. Утворюють одного сімейства попарно схрещуються і паралельні одній площині, різних родин перетинаються. p align="justify"> Доказ. Асимптотичні напрями (? , ? , ? ) гіперболічного
параболоїдом знаходяться з рівняння, тобто лежать у площинах:
? 1:,? 1:.
З урахуванням рівняння параболоїда
В
Це означає, що є два сімейства прямолінійних створюючих
В
Дійсно, якщо ми маємо утворить, паралельну, скажімо, Те відстань (зі знаком) від будь-якій її точки до постійно, тобто
З деякою константою k ми маємо
В
звідки з рівняння поверхні отримуємо друге рівняння (1). Таким чином, інші утворюються немає. p> Через кожну точку п...
