влінь (тобто получающейся з (2.1) при u 1 = u < sup> 2 = ... = u r = 0). Таким чином, умова 2) означає, що шукається управління, що переводить об'єкт із заданого початкового стану x 0 у положення рівноваги.
10. Принцип максимуму. У пункті 6 ми сформулювали необхідна умова оптимальності, зване принципом максимуму . Даний пункт присвячений принципом максимуму у випадку лінійної задачі оптимального управління. Спочатку вкажемо ті спрощення у формулюванні принципу максимуму, які виникають у цьому окремому випадку (тобто в разі лінійної задачі оптимального управління).
Зауважимо, насамперед, що функція H (див. формулу (B) на стор 10) приймає вигляд
(2.9)
(Тут у правій частини записані скалярні твори; наприклад, П€ Ax є скалярний добуток векторів П€ і Ax .)
Далі, розглянемо систему диференціальних рівнянь для допоміжних змінних П€ 1 , П€ 2 , ..., П€ n (див. формулу (C) на стор 10). Ми маємо
В
Отже, система рівнянь для допоміжних змінних приймає вигляд
(2.10)
т. е. являє собою так звану сполучену систему (по відношенню до лінійної системі (2.8)). У векторній формі система (2.10) записується у вигляді
(2.11)
де
В
в”Ђ матриця, получающаяся з матриці A Транспонированием (тобто заміною рядків стовпцями).
Так як в правій частині співвідношення (2.9) перший доданок зовсім не залежить від u , то при написанні співвідношення (D) (див. стор 11) досить розглянути лише другий доданок. Таким чином, співвідношення (D) приймає в розглянутому випадку вид
(2.12)
для будь-якого моменту П„ , t 0 ≤ П„ ≤ t 1 .
Нарешті, співвідношення (E) (стор. 11) стає просто непотрібним, так як в розглянутому випадку воно завжди виконується. Дійсно, так як x ( t 1 ) = (0, 0, ..., 0) (умова 2) на стор 15), то в H ( П€ ( t 1 ), x ( t 1 ), u ( t 1 )) перший доданок звертається в нуль (див. (2.9)). Друге ж доданок, в силу (2.12), завідомо неотрицательно, бо при u 1 = ... = u r = 0 (ця точка, в силу умови 3) на стор.15, належить багатограннику U ) ми маємо П€ ( П„ ) Bu = 0, а тому максимальне значення виразу П€ ( П„ ) Bu неотріцатнльно. Отже, співвідношення H ( П€ ( t 1 ), x ( t 1 ), u ( t 1 )) Ві 0 для лінійної оптимальної задачі завжди виконано.
Сказане можна резюмувати наступним чином. ...
