ми були вибрані таким чином, щоб функція U (x) залишалася безперервної в точці x = a. Нормувальних постійна була визначена з умови
В
Вимога безперервності u в точці x = a дає ще умова:
парні
- k sin ka = - cos ka, ka =/k;
непарні
k cos ka = - sin ka,
сtg ka = -/k.
За допомогою співвідношень і спростити вирази для нормувальних постійних, отримуючи в обох випадках один і той же рівність:
В
Щоб з рівняння можна було знайти власні значення, замінимо в правих частинах цих рівнянь величину? у відповідності з виразом і введемо позначення
= k0 a
В результаті отримаємо
парні
В
непарні
В
При даному потенціалі величина С є постійною, яка залежить лише від розмірів ями (С2 ~ Ua2) і рівняння і дають можливість визначити всі значення ka, а тим самим і всі значення енергії
В
реалізуються в ямі даних розмірів.
На фіг.1 tg ka, а також праві частини рівнянь і показані як функції змінної ka. Власні значення перебувають як абсциси точок перетину двох останніх кривих з тангенсоідой. Згадані криві, зрозуміло залежать від параметра С, що визначається розмірами ями. Почавши, наприклад, зі значення С = 1, ми отримуємо одну точку перетину, позначену буквою?, В парному випадку і взагалі не отримуємо жодного перетину у непарному випадку. Отже, в ямі такого розміру є трохи більше одного пов'язаного стану з позитивною парністю. Ця яма з відповідним рівнем показана на Фіг.2, а. Для ями великих розмірів, С = 1,5, криві на фіг.2 перетинаються в точці?; Як і раніше є тільки один стан з позитивною парністю (фіг.2, б), причому E? (Ka)?. Якщо ще збільшити розмір ями, взявши, наприклад, С = 2, то перетин у точці? дасть ще більш низький стан з позитивною парністю (E? E?), але, крім того, до нього додатися стан з негативною парністю, відповідне перетинанню в точці? (Фіг.2, в). З подальшим збільшенням розмірів ями її В«місткістьВ» зростає (фіг.2, г-е): число пов'язаних станів зростає з позитивною і негативною парністю. Що стосується власних функцій, то вони слідують загальним правилом: чим більше у них нулів, тим вище їх положення на шкалі енергій. Хвильові функції чотирьох нижчих станів показані для випадку С = 5 на Фіг.3. p> У класичній механіці частка могла б коливатися між стінками (точки x = В± a), що обмежують яму, при будь-якому значенні енергії. Поза ями її кінетична енергія була б негативна, тому область поза ями класично недосяжна. p> У квантовій механіці ми не маємо такого жорстокого обмеження. Ймовірність Pi виявити частинку всередині ями виявляється менше одиниці:
В
Таким чином, є кінцева ймовірність того, що частинка перебувати зовні. Для всякого кінцевого інтервалу поза ями ймовірність убуває експоненціально, як
, ...
